Si les séries

M|, Uj) •••»

sont convergentes et ont respectivement pour sommes u et v, la série

"1+^41 «51 + ^aî

Un + V

formée en ajoutant les précédentes terme à terme^ est convergente et a pour somme u + v.

En effet, en désignant respectivement par U«, V„ et Sn la somme des n premiers termes dans chacune des trois séries considérées, on a

et, par suite, lorsque n croit indéfiniment

lim S^ — u + î^

1^^. Si les deux séries

sont convergentes et ont pour sommes respectives u et v ; si de plus Vune d'elles au moins {la première par exemple) est absolument convergente^ la série

Wq, î(?4, ..., t(?„, ..., (2-7)

qui a pour terme général

^n = u^Vn + u^Va,^ + ... + u„v^, (28)

est convergente et a pour somme le produit uv.

En effet, désignons respectivement par U„, V„, W„ la somme des (?i + 1) premiers termes dans chacune des trois séries considérées. La différence

développée et ordonnée suivant les indices de la lettre m, a pour expression

Nous avons placé les divers termes sur deux colonnes dont l'une contient les termes en 2/0, (/j, ..., î/„i et l'autre les termes en Vn^x, ..., Wi„; le terme en ?/„ a disparu.

On a, d'après cela, en considérant les modules

I ^1 < l«ol • l^/»+< + ••• + ^2n\ +!«« + < I • 1^0 + ••• + ^n-^ \

+ |W4M^/.-H + ---+»2«-J + l"«+2l ho + •••+''' «-2 1 \ (30)

Mais, puisque la série (25) est absolument convergente et que la série (26) est convergente, on peut assigner deux nombres fixes positifs A et B, tels que Ton ait

D'ailleurs, en vertu du principe général de convergence (n** 120), on peut prendre n assez grand pour qu on ait, quel que soit j9, les inégalités

I ^n + i I + I Un + 2 I + •.• + I W/.1P I < «, (33)

Ê étant une quantité positive aussi petite qu'on voudra. On aura donc, en vertu de (34) et de (32),

et a fortiori, à cause de (31) et de (33),

8 I < Ai + Bç. ou (A + B) e ;

d'oii Ton voit, puisque A+ B est fixe, que | § | peut devenir moindre que toute quantité donnée. En d'autres termes, l'expression

tend vers zéro, quand n croît indéfiniment, et Ton verrait, par un raisonnement analogue, qu'il en est de môme de l'expression

Donc enfin, puisque U„ et U„ + , ont pour limite ti et que V„ et V,,^., ont pour limite t\ W^,, et W2,, .^.i tendent l'un et l'autre vers uv, lorsque n croît indéfiniment.

Ce théorème est dû à Cauchy ; mais cet illustre géomètre supposait que les deux séries (25) et (26) étaient absolument convergentes; c'est M. Mertens qui a montré qu'il suffisait que l'une de ces deux séries fût absolument convergente, l'autre pouvant être simplement convergente.

Remarque

146. La théorie de la convergence des séries fournit un moyen souvent commode pour démontrer qu'une expression 9 {n) a pour limite zéro, lorsque le nombre entier et positif n croît indéfiniment.

Il suffit, en effet, d'après le n<»H9, de prouver par un moyen quelconque la convergence de la série dont le terme général est ^ (n).

Voici deux exemples utiles :

1* L'expression

où a: a une valeur déterminée et où n désigne un entier positif, a pour limite zéro lorsque n croît indéfiniment. En effet, la série dont l'expression (35) est le terme général est

convergente, vu que le rapport - d'un terme quelconque

au précédent tend, pour n =^oo, vers zéro, c'est-à-dire vers une quantité moindre que 1 en valeur absolue . 2* Considérons l'expression

dans laquelle [x désigne un nombre fixe quelcon'que, n un entier positif, et x une quantité donnée moindre en valeur absolue que l'unité. Cette expression a pour limite zéro, quand n croît indéfiniment. En effet, la série dont l'expression (36) est le terme général est convergente, vu que le

rapport x d'un terme au précédent tend, pour 7t = oo,

vers — X, c'est-à-dire a une limite moindre en valeur absolue que l'unité.

Formule de Taylor

147. C'est en 1717, dans l'ouvrage intitulé Methodus iîic rement onim y que Taylor a fait connaître la formule célèbre

sans se préoccuper d'ailleurs des conditions propres à rendre son emploi légitime.

Un siècle devait s'écouler avant qu'il fût question d'évaluer la différence

R = n^) - r («) --^^V (a) ... -îff(^/^'-''(«) <2)

entre f[x) et la somme des n premiers termes de la série de Taylor^ c'est-à-dire de la série qui constitue le second membre de la relation (1).

Nous allons faire connaître les principales formes que ce reste R est susceptible de recevoir.

Soient a et ^ deux nombres donnés quelconques et f{z) une fonction astreinte à rester continue ainsi que ses n — 1 premières dérivées lorsque la variable z est renfermée dans l'intervalle (a, a:); la dérivée suivante /'* (z) peut devenir discontinue dans cet intervalle : il suffit qu'elle soit déterminée.

Posons

p étantrunquelconquedesnombresl,2, ..., n, La recherche du nombre R est ainsi ramenée à celle du nombre P, lequel, en vertu des égalités (2) et (3), se trouve alors défini par la relation

r{a;)-na)-^na)-...-^~fj^ ^''-'^[a) = P (a; -^ a)». (4) Cela posé, considérons la fonction

ç (,) = fiœ) - r(z) - î-^ r {z] - ^'—f-r {z, - ...

dont la dérivée, suppression faite des termes qui se détruisent deux à deux, se réduit à Texpression très simple

La fonction ^[x) s'annule, en vertu de (4), pour z = a\ elle s'annule aussi évidemment pour z = x. Donc, d'après le théorème de Rolle, sa dérivée ^'(js) s'annule pour une valeur de z comprise entre fljetx et que Ton peut, par conséquent, représenter par a + 6(x — «), Ô désignant un nombre inconnu, mais convenablement choisi entre o et I . Cette condition s'exprime, en vertu de (6), par la formule

o = ~ (x - «)«-/' ^l=-^f[a + 0 (a; - a)J -p Pp,

d'où l'on déduit en résolvant par rapport à P et portant dans f3)

1 4B, Cette expression, du reste, qui renferme un nombre p arbitrairement choisi dans la suite 1, 2, ..., n, n'est pas très usuelle. On lui préfère, dans la pratique, tantôt l'une, tantôt l'autre des deux suivantes :

tUtt (1 - '*)""'/■''" [^ + M^ - «)], (9)

que l'on déduit de (7) en particularisant le nombre p.

La première (8) est due à Lagrange ; on l'obtient en prenant

tandis que la seconde (9), due à Cauchy, résulte de l'hypothèse

11 est presque superflu d'observer que la quantité inconnue désignée par S n'a pas la même valeur dans les formules (7), (8), (9), toutefois elle est toujours comprise entre 0 et 1 {').