Pour a = o, la formule (10) devient
JP W / X . . X
/•(;r) = /• (o) + j /' (o) + ... -f- ^,, /<»-<) (o) + R, (13) R devant y être remplacé par Tune des deux expressions
R^JV^^Oo?) (Lagrange), (14)
ft = ^\7~ Vî""^ ^'^' ^^""^ (Cauchy), (15)
Si R tend vers zéro lorsque n croit indéfiniment, on tombe sur la formule
qui porte le nom de formule de Maclaiirin et qui donne le développement de f[x) en série convergente et ordonnée suivant les puissances entières et positives de x.
Nous allons chercher, par cette méthode, les développements des fonctions élémentaires e""^ sina:, cosx, log (1 -{-x)^ (1 + x).
Développement de e^
1 5Zi. Les dérivées successives de e' sont égales à c* ; elles prennent donc toute la valeur 1 pour j: = o, et par suite la formule de Maclaurin, complétée par le reste de Làgrange (15), devient ici
^ = ^ + ï + fi + - + 1.2 .!"(;'- 1) + ï£rn '"^ (*»)
X ayant une valeur déterminée quelconque. Le premier facteur
du reste tend vers zéro (n° 146) quand n croît indéfiniment ; le second facteur ^^^ est fini, puisqu'il est compris entre 1 et c'. Donc le reste R est nul pour n = oo , et Ton a pour le développement de e' en série convergente
153, a étant un nombre positif, on peut écrire
par suite, il suffira de remplacer dans la formule (19) x par X logrt pour obtenir le développement de a':
Développements de sinar et de cos;r
1&4. Si / (x) = sino:, et ç {x) =cosj:, on a (n° 80)
/^«> {œ) = sin (œ + ^), ^(«) {œ) = cos (a? + ^),
et par suite
/^«) (o) = sin Y' T^'*^ (o) = cos y •
La formule (14), quand on adopte pour le reste la form e due à Lagrange, donne donc
8.m.= - -3-, +--...+- sm-^ + (-;^:pjyT«"»(e.r+ -f- ^ j, (21 ) co&r=l-2y+^-...+- cos-^H-,^qp^,cos(^6^+-^ uj. (22)
Dans chacune de ces formules, le reste est moindre en valeur absolue que
il tend donc vers zéro (n*' 146), quand n croit indéfiniment, pour toute valeur déterminée de ar, et l'on a, par suite, pour les développements de sin x et de cos x, les séries convergentes
8ina; = j -- + --... (23;
cosar=l -^+- ... (24)
Remarques
1SS5. On peut affirmer que la formule de Taylor (1) est applicable toutes les fois que la fonction considérée/ (5)
CALGin. IKFINITéSIMAL. 11
est telle que toutes ses dérivées successives soient continues dans l'intervalle (a, x) et restent, dans cet intervalle, moindres en valeur absolue qu'un nombre positif donné quelconque A. En effet, le reste (8) est alors moindre que
et par suite (n^* 146) tend vers zéro quand n croit indéfiniment. La même observation a lieu pour la formule de Maclaurin (17).
Nous aurions pu, en profitant de cette proposition, qui est évidemment applicable à e% sin>5, cosjs, éviter le calcul du reste pour établir les formules (19), (23) et (24). Mais il ne faudrait pas se faire illusion sur la portée de la susdite proposition ; elle ne trouve guerre d'application en dehors des trois fonctions précédentes, et d'ailleurs, môme dans ce cas, la connaissance du reste est utile pour un grand nombre de recherches.
1 56, On doit bien se garder de croire que les formules (1) et (17) de Taylor et de Maclaurin soient applicables dès que les seconds membres sont des séries convergentes. Ces séries pourraient avoir une somme autre q\xef[x). Si Ton se reporte, en effet, aux formules (10) et (1 i), on voit que R dépend à la fois de x et de n, et il peut se faire que, pour 71 infini, ce reste ait une limite F(j:), différente de zéro; alors les séries en question ont évidemment pour somme non plus / (^), mais la différence f (x) — F {x).
Ainsi Texactitude des formules (1) et (17) ne peut être établie que par la considération du terme complémentaire R. Toutefois, comme ce reste R ne peut être nul sans que les séries de Taylor et de Maclaurin soient convergentes (vu qu'une série divergente ne représente aucune fonction), il y a tout intérêt à chercher d'abord entre quelles limites ces séries sont c onvergentes afin de n'avoir à discuter ce reste que pour les valeurs de x comprise entre ces limites. C'est de la sorte que nous procéderons dans les exemples suivants.
Développement de {i -j- x)
137. Lorsque Texposant m est un nombre entier et positif, le développement de (1 + x)"^ se compose d'un nombre de termes limité; c'est la formule du binôme que Ton démontre en algèbre élémentaire.
Nous laisserons ici m quelconque, et nous supposerons en outre X > — 1 ; la fonction
ffx) = (1 + a?)'"
aura de la sorte un sens bien net, vu que à chaque valeur de X répondra alors pour f{x) une seule valeur réelle et positive.
En prenant les dérivées successives de (1 + j:)"*, on trouve sans aucune difficulté
et par suite,
La formule (14) devient donc ici
(l+..)'»^l+fa; + ^iJ^.^ + ...
le reste R ayant pour expression, si Ton adopte la forme due à Cauchy,
« = ( (n-l)! ^ '^) (f+ll) (l + ô^)'"-'- (26)
Or, si Ton considère la série ^^rn^^m(n^^,^m{m-lHm-2)^,^ (27)
if
on voit que le rapport d'un terme au précédent a pour expression
et par suite a pour limite — x lorsque n croit indéfiniment; la série (27) est donc divergente si x est, en valeur absolue, supérieure à 1, et il suffit d'étudier le reste (26) dans Tintervalle ( — 1, -h 1) ; nous exclurons môme les valeurs extrêmes — 1 et -f- 1, nous réservant d'étudier plus tard le cas oùa: = =h 1.
Le reste (26) est un produit de trois facteurs : Dans notre hypothèse | r | <; 1, le premier facteur a pour limite zéro (n° 146;, le second a une valeur absolue au plus égale à 1, et le dernier est inférieur au nombre fixe (1 -f-a:)'"~*. Le reste tend donc vers zéro, et Ton a pour toute valeur de x comprise entre — 1 et + 1
