Considérons la fonction

/•(a!) = log(l-f-aO, qui (n° 21) prend une valeur réelle unique pour chaque

valeur de x supérieure à — 1. Ou a

et par suite

r (o) = o, r (o) = 1, ..., fn) (o) = ( !)/.-* (n 1) !.

La formule (14) devient alors log(l+^-) = f-|- + -|--...4-(-l)»-<^ + R, (29)

le reste R ayant pour expression

R = b il^.(i£:±y-'.^, (30)

1 + hx \1 + 607/ ^ ^

si Ton adopte la forme due à Gauchy.

La série

X Ou ÛS x^

est divergente pour toute valeur de x dont le module est supérieur à 1 , car le rapport

d'un terme au précédent tend vers — x lorsque n croit indéfiniment ; elle est d'ailleurs divergente pour x = — 1, puisqu'elle se réduit alors à la série harmonique. 11 suffit donc d'étudier le reste dans Fintervalle

Or, pour X = 1, l'expression (30) est indéterminée; mais

le reste de Lagrange

tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, parce que le second facteur reste fini, tandis que le premier tend vers zéro.

Pour a: compris entre — 1 et 1, le reste (30) est le produit de trois facteurs dont les deux premiers ne peuvent, en valeur absolue, surpasser Tunité, tandis que le dernier tend vers zéro, quand n croit indéfiniment .

Le reste R tend donc vers zéro dans rhypothèse(31), et Ton a alors

log(l + a,)=f-f + 1*-... (32)

160. Au lieu de la formule unique (32), oîi x varie entre — 1 et 1, on peut ne faire varier x que de 0 à 1 et joindre à la formule (32) la suivante :

- logd -a>)=f^f+^+... (33)

Les restes peuvent alors recevoir des formules plus simples. En effet, on peut, dans notre hypothèse, appliquer à la série (32) le théorème relatif aux séries alternées. Le reste est donc moindre en valeur absolue que le premier terme négligé , et Ton a, 6 étant compris entre 0 et 1 ,

log(l+^)=^-|'+f+..+(-4)"-*f;l + (-l)'-*V^- (34)

En second lieu, la somme des termes qui dans la série (33) suivent le (n — 1)^"* est moindre que

et Ton a, 6' étant compris entre 0 et 1,

-iog(i-.)=f+|+|H-...+f-j + e'^-^ (33)