On en conclut en particulier pour n
log(l + a;) = a; -9 - (36)
-log{l-a.)=« + ô'^^j-3^, (37)
formules souvent utiles, où x, 6, 6' sont compris entre 0 et 1
Formules pour le calcul des logarithmes
1 6â. Soient p ^i g deux nombres positifs quelconques ; p étant le plus grand des deux, si Ton pose
jc sera coinpris entre 0 et 1, et Ton aura
On en déduit
logp — log^=:log(14-a?) — log(l —a?),
ou, en vertu de (32) et (33),
logp - log.^ = 2 [I + f + I + ... + 2^^ + ...]• (39)
Cette formule, très convergente dès que x est notablement inférieure à 1, permet de calculer le logarithme de p connaissant celui de q.
L'erreur commise, lorsqu'on se borne aux K premiers termes de la série, est évidemment inférieure à
OU à
et enfin à
On peut donc écrire
logP^logg^2[- +3+5 +-+2K=1 + (2K+i)(i-^^) J- «^^
6 étant compris entre 0 et 1 et a: ayant la signification indiquée par la formule (38).
Par exemple, pour p =i^ --\- h, q =Nel K = 1, il vient
log (N + A) - logN = ^^ (i + ,,^ l^\ ,))• (41)
163. Tout ce qui précède se rapporte aux logarithmes népériens. Pour passer aux logarithmes vulgaires, il suffit (n* 22) de multiplier les logarithmes népériens par le nombre
loglO'
dont on trouve la valeur de la manière suivante : La formule (40) où Ton fait jo = 40, y = 8, et par suite
a: = ^1 donne
La môme formule oîi Ton fait /> = 2, y = 1, et par suite
j: = - donne >
ï«^^ = K5 + 3T» + 5li+ •)•
On a donc
En calculant chaque terme du second membre avec 28 décimales, puis divisant 1 par la somme ainsi obtenue, on a, avec 25 décimales exactes,
M = r-^T. = 0,43429 44819 03251 82765 11289. log 10
Remarque sur l'emploi des tables de logarilhmes
164. Soitn + h un nombre positif dont la partie entière n est comprise en 10000 et 100000; on. trouve, dans la table supposée à 7 décimales, le logarithme de n ainsi que la différence tabulaire
A = log [n -\- i) — logn.
Cela étant, quand on veut calculer log [n + h) ou, ce qui revient au même, la différence
0 = log (n + /i) — logn,
on prend pour valeur approchée de cette différence la quantité 8i fournie par la proportion
Il est facile de voir que Terreur l — $, ainsi commise est nioîndre que le quart d'une unité du huitième ordre décimal.
En effet, Texpression
