log(l+^)-Alog(l+i

devient, en vertu de la formule (36) traduite en logarithme vuleaire,

où 0 et 6' désignent deux nombres compris l'un et l'autre entre 0 et 1 ; on obtient, en réduisant,

et par suite, puisque M est (n** 163) moindre que ô» et que h est inférieur à 1,

Nous avons supposé que les logarithmes fournis par la table étaient exacts; en réalité, ils sont entachés d'une erreur en plus ouxen moins qui peut atteindre une demiunité du septième ordre décimal, et de ce fait seul résulte sur la valeur de log (n + A) une erreur qui peut s'élever à une unité de cet ordre (voir V Introduction aux Tables de Schrôn, n° 14). Cette erreur étant notablement supérieure à celle que nous venons de calculer et qui provient de la proportion (42), l'emploi de cette proportion se trouve pleinement justifié.

Développement de arctg^

165. Comme dernière application de la formule de Maclaurin, cherchons le développement de

y = arc igx.

Nous entendons par là Tare compris entre — ^ ^t ^' dont

la tangente est égale à Si Ton pose

on a (n» 80)

Mais, par hypothèse, quand x est nul, y Test aussi et, par suite, u est égal à - ; on a donc

/^«) (o) = (— !)«-< (n — 1) ! sinn|i c'est-à-dire

si n est pair, et

si n est impair.

La formule (13) devient donc ici

arctga; = a;— j-f- — — y + ... -{- — — j -f R. Le terme complémentaire a d'ailleurs pour expression

R = ( — 1)" '* — sin'*w^ sinnw^,

où u^ est l'arc compris entre — 5 ^^ 5' satisfaisant à la relation

C0tgM4 = 6a7,

dans laquelle G est compris entre 0 et 1.

Il suit de là que, si x est, en valeur absolue, inférieur ou égal à 1, R tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment.

Par suite on a pour le développement de arclgj: en série convergente

arctga? =z- — j4-~— y+ ... (44)

Cette série est d'ailleurs divergente pour | x | > 1 ; car le rapport d'un terme au précédent a pour limite j:*, qui, dans ce cas, est supérieur à 1.

Calcul de z

166. En partant du développement de arctga-, on parvient à une formule qui permet de calculer rapidement le rapports de la circonférence au diamètre.

Désignons par p Tare dont la tangente est égale à -♦ on

aura successivement

tg4|}

L'arc 4/> est donc un peu plus grand que j et, si l'on appelle q la différence de ces deux nombres, on a

De là résulte la relation

c'est-à-dire, en appliquant la formule (44),

c'est la relation que nous avions en vue. Il suffit par exemple de calculer H termes de la première série et 3 termes de la seconde pour obtenir, pour le nombre t:^ la valeur

approchée avec quinze décimales exactes.

Méthode d'approximalioii de Xevvton

1 67. La formule de Taylor trouve une application intéressante dans la méthode indiquée par Newton, puis complétée par Fourier, pour trouver des valeurs de plus en plus rapprochées d'une racine d'une équation donnée algébrique ou transcendante.

Supposons que, par des substitutions convenablement dirigées, on soit parvenu à séparer une racine x^^ de Téquation f{x) = o, c'est-à-dire à trouver deux nombres a et (â comprenant cette racine inconnue Xq et n'en comprenant aucune autre.

Nous supposerons en outre les nombres a et g assez rapprochés pour que la dérivée seconde f (x) conserve un signe constant dans l'intervalle (a, g); alors, comme /(a) et / (&) sont de signes contraires, Tun des nombres (a, p) rendra le iproduit f {x) f (x) positif, tandis que l'autre rendra ce produit négatif.

Cela posé, la méthode d'approximation dont il s'agit consiste dans la proposition suivante :

Si fort désigne par a celui des deux nombres ol et ^ qui

■* ir

rend f{x) et f [x] de même signe ^ la quantité

sera comprise entre a et Xq.

En effet on a

X étant un nombre inconnu compris entre a et Xq. D'ailleurs /'(a) est différent de zéro, sans quoi la relation précédente deviendrait

ce qui ne peut être, puisque, d'après nos hypothèses, les deux termes du second membre ont le même signe. On peut donc diviser par /'(a) Téquation (47) et la mettre sous la forme

On déduit de (46) et de (48)

le produit

est donc positif, et par suite les quantités

sont rangées par ordre de grandeur (croissante ou décroissante), ce qui démontre le théorème énoncé.

168. Ce théorème permet de passer d'une valeur approchée a à une autre a^ plus approchée que la première et dans le môme sens qu'elle.

Pour l'appliquer, on commencera par chercher une limite supérieure de la valeur absolue \ Xç^ — «^ | de Terreur que Ton commet eu prenant a^ pour nouvelle valeur approchée.

A cet effet, désignons par M la plus grande valeur absolue de /'(x) dans Fintervalle (a, 3)? et posons

on aura d'abord évidemment par la formule (48)

Mais la même formule (48) donne aussi

et par suite, eu égard à (49),

Le second membre de cette inégalité paraît compliqué ; mais il n'est pas nécessaire de le calculer exactement, il

suffit de déterminer la puissance de rr qui lui est immédiatement supérieure.

Soit — celte puissance et A* la valeur par défaut à moins

de r^ du quotient

fia)

LM

Si a est par défaut, la quantité — 'pfi ^®^* positive, et

Ton aura a, = a H- A; + s ; si « est par excès, la quan-

tité — "Fis sera négative, et Ton aura a, == a — k — s. On

prendra donc pour nouvelle valeur approchée a ± /i, en adoptant le signe -+- ou le signe — suivant que a est par défaut ou par excès.

emple choisi par Newton lui-même; il s'agit

ic* — âr — 5 = o,

théorème de Descartes, ne peut avoir qu'une ■ et qui en a effectivement une puisque le est négatif. Proposons-nous d'évaluer cette

iatement que/'(2)cst négative et /"(S, l)posii/'(x} est positive pour toute valeur positive rons donc ici, d'après les notations que nous

« = 2, |i = 2,l, «^2,1 le second membre de l'inégalité (50) sera

0,0 ro,f. . 0.01 + 0,006;= < 0,0001.

évaluer le quotient

noins d'un dix millième et retrancher de 2,1 l)r>4' ainsi obtenu ; cela donne, pour la racine valeur 2,0!ti6 approchée à moins d'un dix excès.