Terminons ce sujet par une remarque importante

/(ûj) et f(a) ayant le môme signe, il en sera de même de /(«i) et de f''[a^)\ on peut donc appliquer à la valeur approchée «, la règle de Newton-Fourrier, ce qui donne une nouvelle valeur approchée a.,, et ainsi de suite.

On obtient ainsi, par Tapplication répétée de la règle en question, une suite indéfinie de valeurs

fl|, aj, ^a, ..., ûf,t, ..., (51)

de plus en plus approchées de la racine îCq et approchées toujours dans le même sens.

Mais pourra-t-oa de la sorte approcher autant qu'on voudra de la racine x^? En d'autres termes, la suite (51) a-t-elle pour limite x^l La réjponse est affirmative.

En effet, supposons, pour fixer les idées, que a soit par défaut; les nombres (51) vont en croissant et restent inférieurs à Xq\ ils ont donc une limite X. D'ailleurs on a

Or, d'une part, le premier membre tend vers X — X, c'està-dire vers zéro, quand n croit indéfiniment. D'autre part, f{a^ ne peut être infini, puisque, ^{x) ne changeant pas de signe dans l'intervalle (a, p), f [x) varie dans le même sens

entre/' (a) et /'(g).

On a donc

lim / («„) — o,

c'est-à-dire

Le nombre. X est donc une racine de l'équation proposée, et, comme il est compris entre a et g et que Téquation n'a qu'une racine Xq dans cet intervalle, on doit avoir

CALCUI' INFUnTÉBIHAL. 12

Convergence des produits d'une infinité

de facteurs