La formule

log(l + .)=.-ijj-^, (52)

OÙ X est compris entre — 1 et -f- 1, trouve une application intéressante dans la recherche des conditions de convergence des produits d'un nombre infini de facteurs. On dit qu'un tel produit

U(VL^^.,.Un,.. (53)

est convergent si le produit

tend vers une limite déterminée P différente de zéro, lorsque n croit indéfiniment.

Pour que le produit (53) soit convergent^ il faut que ses facteurs tendent vers l'unité quand leur rang augmente indéfiniment. On a on effet :

et, par suite, lim u^ = 1, puisque les deux termes de la fraction précédente ont l'un et Tautre P pour limite. On est ainsi conduit à poser

Un = i + «/M

c'est-à-dire à considérer seulement les produits de la forme

Ceci posé, voici un théorème fondamental : Le produit (54) converge vers tnie limite différente de zéro^ si les deux séries

«I + »2 + ••• + «n + .-M (SoJ

S ont Uune et Fautive convergentes ; il a au contraire zéro p our limite si la série (55) est convergente et la série (56) divergente.

En effet, si Ton pose

on a :

logP„ = l0g(l + a,) + log(i -h «,) H- ... + l0g(i + ««),

OU, en vertu de la formule (52),

l0gP„=r («,+«, + ... + «,) (57)

Or, les quantités 1 + Ô^a^, i -+- 62^2, ..., 1 + 0„a„, étant positives et ayant l'unité pour limite, la série dont les n premiers termes forment le crochet qui figure au second membre de (57) est (n° 123) convergente ou divergente en même temps que la série (56).

Donc, en premier lieu, si, la série (55) étant convergente, la série (56) Test aussi, les deux parties dont se compose log P„ auront Tune et Tautre une limite finie, et par suite P„ aura une limite finie et différente de zéro.

En second lieu, si la série (55) étant convergente, la série (56) est divergente des deux parties dont se compose logPn, la première aura une limite finie et la seconde tendra vers — 00 . Log Pn aura donc — 00 pour limite, et par suite P„ aura pour limite zéro.

171. Le second cas de l'énoncé précédent ne peut pas se présenter lorsque «j, a-j, ..., a„, ..., sont tous de même signe. En d'autres termes, dans cette hypothèse, si la série (55) est convergente, la série (56) Test aussi, puisque, dès que les quantités a deviennent moindres que 1 en valeur absolue, la seconde série a ses termes respectivement inférieurs aux termes correspondants de la première.

De là ce théorème : L<is produits

OÙ les quantités «jx^, ..., a„ ..., sont toutes positives^ convergent vers une limite différente de zéro, si la série

Otf , OE21 •••« 'X/11

est convergente.