Exemples
1° Le produit
OÙ CL est compris entre — 1 et + 1, converge vers une limite différente de zéro, car les deux séries
sont convergentes.
2** Le produit
a pour limite zéro, car les seconds membres des binômes forment une série convergente
± ± X JL 1
mais leurs carrés forment la série harmonique, qui est divergente.
173. Les propositions précédentes servent le plus souvent à ramener la recherche de la convergence d'un produit à la recherche de la convergence d'une série. Mais, parfois, on peut au contraire rattacher la recherche de la convergence d'une série à celle d'un produit. Par exemple, soit le produit :
on a
Le produit considéré a donc zéro pour limite ; par suite, la série formée par les seconds termes des facteurs binômes ne saurait (n** 171) être convergente. C'est ce qui a lieu en eflfet, puisque cette série est la série harmonique.
Dei*iiières remarques sur la formule de Taylor
l'74t. Lorsque /""'(j:) n'est pas nul, on peut prendre A assez petit pour que le terme
de la formule de Taylor V emporte en valeur absolue sur le reste correspondant
^ r {^ + ôA).
En effet, puisque (n^ 147) /" {x -+- ôA) est finie, il suffit, pour satisfaire à l'inégalité
(■£?^/-M-)<?r(a.+eA),
de prendre h inférieur à la valeur absolue de la quantité
qui, dans notre hypothèse, est finie et différente de zéro. 175. Posons
et
les quantités
hf {x) , A Y" C^) , . . • , ^" " ^ P' " * ' (^)
seront lès différentielles successives
de y. Si, de plus, on représente par rf'"y Texpression h'^f'^ [n H- OA), qui est la valeur de la différentielle riT^ de y correspondant à la valeur x + OA de la variable, la formule de Taylor devient
if -^ ' 1.2 ' ' (n — 1) ! ' n! ^ '
Si Ton suppose A = dx infiniment petit du premier ordre, rfy, rf^y, ..., rf'*~*y> ^^"y seront en général des infiniment petits ayant pour ordres respectifs 1, 2, ..., /? — 1, n. Quand on s'arrête dans le développement de Ay à un certain terme, on a une valeur approchée de l'accroissement infiniment petit de Ja fonction, et Terreur commise correspondante est un infiniment petit d'un ordre supérieur à celui du dernier terme conservé.
FORMULES DE TAYLOR ET DE MACLAURIN POUR LES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES
Formule de Taylor pour les fonctions de plusieurs variables
• 170. Soit/ (X, Y) une fonction de deux variables indépendantes dont les dérivées partielles, jusqu'à Tordre n inclusivement, sont continues tant que X reste compris dans un certain intervalle (A, A') et que Y reste compris dans un intervalle (B, B).
X eix -^ h étant deux nombres pris à volonté entre A et A', et y et y -+- k deux nombres choisis arbitrairement entre B et B', on se propose de développer
r{x + h,y + k) il)
suivant les puissances entières positives et croissantes de h et de k.
L'expression précédente est la valeur que prend, pour t z=z \^ la fonction de t définie par les relations
<p (/)=/•(«, p), a = a? + ^/, ^z^yJ^kt, (2)
On obtiendra donc le développement cherché en appli-
quant à' 9 (/) la formule de Maclaurin
+ rv^ ?'"' («0,
puis, faisant /= 1, ce. qui donne
8 étant compris entre 0 et 1.
Il reste à calculer 9^"'^(/).
On y parvient en appliquant la règle de différentiation de la fonction composée f (a, 3)» lorsque les fonctions composantes a et ^ sont, comme ici, des fonctions linéaires de /. On sait que cette règle se traduit (n® 87) par la formule symbolique
qui, en vertu des relations devient
On en déduit
où u et V désignent respectivement a: -+- 6A et y + 0X\
Il suffit alors de porter ces valeurs dans (3) pour obtenir la formule
' 1.2L 'W oy J
^1.2...(m— nL ?a! ^ Dy J
' 1.2...wL i)M ^^? J
qui est celle de Taylor étendue au cas de deux variables.
177. L'extension au cas d'un nombre quelconque de variables n'offre aucune difficulté ni pour le raisonnement, ni pour la composition de la formule.
On donne le nom de reste au dernier terme du second membre ; si ce reste tend vers zéro lorsque n croît indéfiniment, le second membre de la formule (5) devient une série indéfinie qui est convergente et qui a pour somme
Il importe d'observer que cela a toujours lieu lorsque aucune des dérivées de la fonction /'[x, y) ne devient infinie quand on y remplace x par x-\-^h et y par y + 6A:. Alors, en effet, on peut assigner un nombre X qui l'emporte en valeur absolue sur la valeur de toutes les dérivées qui figurent dans l'expression du reste; par suite, ce reste était moindre en
valeur absolue que — ^ lorsque n croît indéfiniment.
X"(A -\- ky\ tend vers zéro
Autre forme de^la formule de Taylor
