X et y étant des variables indépendantes, on a

dr= h^ + k^^, cœ oy

et symboliquement si donc on pose

et si Ton désigne par rf'y ce qui devient la diflférentielle d"f quand on y remplace x par x -\- dh oA y par y + ôA, la formule (5) devient

A/-= ,r+^^cPr+r:^,dv^ ... + (£^ +ff («)

Elle a la môme forme que dans le sens d'une seule variable (n° 175).

Si A = dx^ k = di/ sont des infiniment petits du premier ordre, chaque terme du second membre est en général infiniment petit par rapport à celui qui le précède, et si Ton s'arrête au (n — 1)°" terme, le reste, c'est-à-dire Terreur commise, est un infiniment petit d^ordre n,

179. Dans le cas d'une seule variable, la formule de Taylor (n" 147) n'exige la continuité que des n — 1 premières dérivées et n impose à la dérivée n™* (celle qui figure dans le reste) que la condition d'(Hre déterminée. Mais, dans le cas de plusieurs variables, c'est-à-dire dans le cas de la formule (5), la continuité des dérivées de Tordre n est nécessaire, puisque cette formule est fondée sur la difTérentiation des fonctions composées.

Extension de la formule de Maclaurin au cas de plusieurs variables

180. Pour étendre la formule de Maclaurin aux fonctions de plusieurs variables, il suffit de faire a: = o et y = o dans la formule (5), puis d'y remplacer respectivement les lettres h et k par x et y.

On obtient de la sorte

Le reste, lorsqu'on s'arrête au n"' terme inclusivement, est ce qui devient l'expression

Xr i.^L^ n I ^V n(n — l] „j , 5»

lorsqu'on remplace, rfâf/i.s' les dérivées qui y figurent^ x et y respectivement par (ix et ôy, 0 désignant un nombre convenablement choisi entre 0 et 1 .

Fonctions homogènes

181. On dit qu'une fonction /(j:, y, ;;) de plusieurs variables est homogène et du degré m, lorsque, chaque variable étant multipliée par une indéterminée /, la fonction se trouve multipliée par /"'; en d'autres termes, lorsqu'on a, quel que soit ^,

r{tx,ty,tz) = t"r[^.y.^)' (9)

Par exemple :

sont des fonctions homogènes, dont les degrés sont respec-

tivement égaux à 2, — 2, -•

On voit immédiatement que :

l"" La somme algébrique de plusieurs fonctions homogènes, de degré w?, est une fonction homogène du même degré;

2* Le produit de plusieurs fonctions homogènes est une fonction homogène dont le degré est égal à la somme des degrés des fonctions proposées;

3"* La puissance d'indice quelconque jx d'une fonction homogène de degré m est une fonction homogène dont le degré est m^.

1 8â. Si, dans Tidentité (9\ on fait / =-» on obtient

donc une fonction homogène de degré m^ divisée par la puissance m de l'une des variables, ne dépend plus que des rapports des autres variables à la première.

La réciproque est vraie ; si l'on multiplie par a:*" une fonction quelconque du rapport ^^ **» le produit

est une fonction homogène du degré m des variables j:, y, z. Car, si Ton change, dans l'expression précédente, x en /x, y en /y, on obtient

•^"Kx'D

Od peut donc prendre la relation (10), au lieu de (9j , pour définir les fonctions homogènes.

Cela posé, voici deux propriétés très importantes de ces fonctions.

183. Les dérivées partielles du premier ordre d'une fonciion homogène de degré m sont des fonctions homogènes de degré m — 1.

En effet, si Ton différentie par rapport à x les deux membres de l'identité (9), et si, d'après une notation déjà employée plusieurs fois, on désigne par f^ (a, g, 7) les valeure que prend pour, j:= a, y = g, 5 = 7, la dernière partielle fj. ixy y, z), on a

. d(tx) ^ j mais . = t ; donc ax

n[tx,ly. tz)^t'^''n[x,y,z).

C'est la traduction algébrique de Ténoncé.

On déduit de là, immédiatement, que les dérivées partielles du second ordre sont des fonctions homogènes de degré m — 2, ... et, en général, que les dérivées partielles d'ordre k sont des fonctions homogènes du degré vi — k,

184t. Le produit dune fonction homogène par son degré est égal à la somme des produits que fon obtient en multipliant cfuique dérivée partielle du premier ordre par la variable correspondante ; en d'autres termes, on a

^/i(^i y y ^) + yfy (^, y. ^) + ^f-1 (^1 y, ^) =mf[x, y, z), (H)

On obtient cette relation, en faisant / = 1, dans l'égalité <x^rx{t^ytyytz)+yr;,{tx,ly,lz)+zfl{tx,ly,tz)=mt'''^^ (12)

qu'on obtient en différenciant l'identité (57) par rapport à /.

Cette proposition, due à Euler, est d'un emploi très fréquent; on lui donne le nom de théorème des fonctions homogènes.

La réciproque est vraie : toute fonction qui satisfait à l'équation (11) est une fonction homogène d'ordre m.

En effet, en remplaçant dans Tidentité (11), x, y, z par tx^ ty^ tz^ on a

xfU {tx, ty, tz) -f yfly [tx, ly, tz) -f zfU [Ix, ty, tz) = j f[tx, ty, tz),

qui, si Ton pose

f[lx,ty,tz) = ^[t), (13)

devient

<p (^) t dt ^^^^ dt ^ '

et par suite

logç(0 = log^- + logC, ou

(p {t) = Cv^.

G étant une constante.

On déduit de là, en faisant / = i,

et par suite

c'est-à-dire, d après (13),

f[tx,iy,tz) =zl'n/^{x,y,z].

Ce qu'il fallait démontrer.

185. Appliquons le théorème précédent successivement à chacune des dérivées partielles du premier ordre /^i, /y, /,',

EXTENSION DE LA FORMULE DE ,TAYLOR i9i

qui sont des fonctions homogènes de degré m — 1 ; on aura

a?/Î2 + yfxy + Zfxz = (^ — i ) ri ,

^ny H- yfy^ + ^n. = (m - 1) /-;,

ooHc^ + yfU + -r=î = (m - i) // ;

d'où, en ajoutant, après avoir multiplié respectivement par or, y, z.

Le premier membre peut s'écrire symboliquement

WL^-yry + znr-,

le second devient, d'après la relation d'Euler (11), on a donc

{^tx + y/-^ + ^fLY'- = m (m - i) /•;

ot, en continuant de la sorte, on trouverait de proche en proche

Wx + yf'y + ^Yc'f ^ = m(m - I) (m - 2)/",

(^/i + yr'y + ^/y)^*^ = ^(^ - i) ••• (m - Â + 1) /*.

On peut obtenir toutes ces identités d'un seul coup et presque sans calcul, à l'aide de la formule de Taylor relative aux fonctions de plusieurs variables.

Que l'on pose, en effet, dans l'identité (9) qui sert à définir la fonction homogène, l'indéterminée / par 1 + a, a étant lin nombre arbitraire compris entre 0 et 1, on aura

f{x 4- ou», 3/ + ay, ^ + a^) = (i + a)V(^i y^ -)•

Puisque a est compris entre 0 et 1, le second membre

sera (n° 157) développable en série convergente ordonnée, suivant les surfaces entières positives et croissantes de a ; et il suffit d'égaler le coefficient de a'' dans ce développement

/•(.. y. .)[i+fa+...+"^"-;';2!?r'+'.^ -*+•-]

au coefficient de J" dans le développement du premier membre par la formule de Taylor

pour obtenir l'identité (14) qui, pour k^=^\y se réduit à ridentité d'Euler (11).

Généralisation de la formule d'approximation

de IVewton

186. La formule de Taylor, relative au cas de deux variables, permet de généraliser la méthode d'approximation de Newton (n* 167).

Soit (otq, yo) un système de valeurs de x et de y satisfaisant à deux équations données

on connaît une valeur approchée a de x^^ et une valeur approchée b de yoî ^^ demande de trouver des valeurs plus approchées de deux inconnues Xq, y^y En posant

Xq — a-^- h, yç^^b -]- k, (15)

on aura

c'est-à-dire, en développant par la formule de Taylor et s'arrètant au second terme,

les restes R et p ne contenant que des puissances ou des produits de h et de k d'un degré supérieur au premier.

Si a et 6 sont suffisamment approchés, h et k seront assez petits pour qu on puisse négliger les restes R et p, et prendre pour nouvelles valeurs approchées les quantités

a^ = fl -j- A, h^ z= b -{■ h^^ (16)

Ai et k^ étant données par la résolution des équations linéaires

Kn opérant sur a^ et A^, comme on Ta fait sur a et A, on obtiendra de nouvelles valeurs approchées «2 ^^ ^2» ^^ ainsi de suite.

1 8T. Voici un exemple numérique :

Soient les équations

aj^^ccy^ ^yi — 6a; + 51^ — 313 = 0. (19)

A Taide d'un croquis fait rapidement et à une échelle convenable, sur papier quadrillé, on voit que Fun des points d'intersection des deux hyperboles représentées par les équations (18) et (19) a sensiblement pour abscisse 10,5 et pour ordonnée 5,25. On aura donc ici, en conservant les notations

CALCCL INFINITÉSIMAI.. 13

du numéro précédent

et par suite

En prenant ces nouvelles valeurs «i et b^ pour point de départ, on aura les corrections h[ et k'^ correspondantes en résolvant les équations

ce qui donne

h[ =-^ Cf,000453, kl = 0,000195,

et par suite

n^= a^ + h^ - 10,426547 ..., 63 = ô, -f- ki = 5,237195 ...

avec six décimales exactes. On peut le vérifier à Taide des équations à une seule inconnue qu'on obtient en éliminant tour à tour y ou x entre les équations proposées (18) et (19).

Définition de la vraie valeur d'une foi*me

. indéterminée

188» Une expression analytique qui, pour une certaine valeur a de la variable j:, se présente sous Tune de^ formes indéterminées

5, |, 0.00, 00 -X, 0«, 1-, ooo,

peut tendre vers une certaine limite ou devenir infinie, lorsque a? tend vers a. On convient alors de donner à cette valeur limite finie ou infinie le nom de vraie valeur pour X = rt de l'expression considérée.

Par exemple, on démontre en trigonométrie que Texpression

sina?

qui, pour :z = o, se présente sous la forme-' tend vers 1

lorsque x tend vers zéro ; sa vraie valeur |)our x^== o est donc égale à Tunité.

Nous allons faire connaître quelques règles qui permettent d'obtenir simplement, dans un grand nombre do cas, Ilv^ vraies valeurs des formes indéterminées.

196 CHAPITRE Xn

Forme -

189. Soient /(j:) et <f{x) doux fonctions qui ont, dans un certain intervalle, des dérivées déterminées, et qui s'annulent simultanément pour une valeur a appartenant à cet intervalle. Le rapport

se préseule sous la forme - pourjr =a, et il s'agit de trouver

sa vraie valeur.

Or, puisque f{a) et <^{a) sont nuls, le rapport (1) peut s'écrire :

n^) " fia) .

il est par suite égal (n* 37) à

r étant un nombre compris entre a et x. Donc, comme c tend vers a en môme temps que x, si le rapport drs dérivées

tend vers une liinite^ le rapport (1) tend vers la même limite^ et^ si le rapport (2) croît indéfiniment^ il en sera de même du rapport (1).

Par ce théorème, connu sous le nom de Règle de PHospital, on est ramené à examiner comment se comporte le rapport (2) lorsque x tend vers a.

Si les dérivées f {x) et(p'(j:) ne s'annulent pas simultané-

ment pour a:= û, la valeur finie ou infinie de leur rapport pour X = a sera la vraie valeur du rapport (1).

Si les dérivées /' (;r) et ^' [x) s'annulent à la fois pour j:.= dr, on sera, par la règle même de THospital, ramené à voir comment se comporte le rapport

i\co)

des dérivées secondes lorsque x tend vers a.

En continuant de la sorte, on verra que, si les fonctions f{x) et <p(j!:) s'annulent ainsi que leurs n — 1 premières dérivées, et si le rapport

des dérivées n"'' tend vers une limite ou devient infini lorsque x tend vers a, le rapport (1) tendra vers la même limite ou deviendra infini pour x = a.

lOO. La formule de Taylor conduirait d'ailleurs immédiatement à cette conclusion. En effet, puisque les fonctions f{x) et 9 [x] s'annulent ainsi que leurs n — 1 premières dérivées pour x = a, on a

c et c' étant l'un et l'autre compris entre zéro et a. On en déduit l'égalité

f {co) /^"' (c)

d'où résultent les conclusions ci-d«ssus, puisque, quand x tend vers a, il en est de même de c et de c.