Exemples

1* Soit à trouver la vraie valeur de

log(i+a:)-~a?

pour jc = o. Le rapport des dérivées

a pour limite — - ; c'est la vraie valeur demandée.

2* Soit à trouver la vraie valeur, pour a:= o, de l'expression

X sina?

Le rapport des dérivées premières

sina? -f" X coso?

se présente sous la forme -; il faut avoir recours au rapport des dérivées secondes

2cosa7 — X sin jc'

il tend vers 1 , lorsque x tend vers zéro ; donc l'expression proposée a pour vraie valeur 1, pour x = o,

192. Dans ce qui préciule, nous avons supposé que la valeur a de ^ qui annule les deux fonctions f[x) et ç(x) était finie ; mais la règle de THospilal s'applique encore au cas où a est infini.

Pour le voir il suffit de poser x = — Le rapport (1) devient

il se présente sous la forme - pour w = o, et en lui appliquant la règle de THospital on obtient successivement

Un» /l£} = li„, -J^IAhZ = ito LW = li„j m

M^ ^ \u) ^ \uj

en sorte que, dans ce cas encore, la limite du rapport des deux fonctions est égale à la limite du rapport de leurs dérivées.

Forme §-

193. La forme ^ donne lieu à une règle identique à celle du n" 189 pour les -•

Soient f{x) et ^{x) deux fonctions qui deviennent simultanément infinies^ lorsque la variable x tend vers une certaine valeur a. Si le rapport (2) des dérivées tend vers une limite déterminée ou devient infini^ lorsque x tend vers a, le rapport (1) des deux fonctions tend vers la même limite ou devient aussi infini.

Pour démontrer ce théorème, nous distinguerons deux cas, suivant que a est fini ou infini :

i** a est infini. — Désignons par a un nombre fixe assez grand pour que, x restant supérieur à a, le rapport (2) des dérivées diffère aussi peu qu'on voudra de sa limite /. On

aura (n° 37), c étant compris entre a et a: :