V, = AQ - P

on obtient la relation

AV = (AaL + P)a-t- V^.

L'expression entre parenthèses s'annule pour

quelles que soient g, ... ; il faut donc que V| soit constamment positive.

Ainsi les conditions pour que V soit constamment positive sont que Von ait k> o et que V^ soit constamment positive.

Or Vj est, comme V, une fonction entière homogène et du second degré, mais ne renfermant que n — 1 variables. En appliquant à V^ le raisonnement sur V, on voit que les conditions pour que V^ reste positive consistent en ce qu'une certaine quantité déterminée A^ soit positive et qu'une certaine fonction V, entière homogène du second degré an — 2 variables reste positive.

En continuant de la sorte, on trouvera les n conditions nécessaires et suffisantes

pour que V reste toujours positive.

iSâ4. Si Ton considère en particulier le cas de deux variables x et y, on a

V = <pjf,(a, h] «» + 29iy (a, h) aS + ^;^(a, h) f-, A r= ^%^ (a, ô), P = <p;,y (a, 6) p. Q z= ^;^ (a, h) p>,

Les conditions pour que V resle positive sont, d'après cela,

^xx («, ^) > o et ^l^ (a, h) ^p;^^ (a, h) — (ipi^ (a, ô))»] > o, lesquelles entraînent d'ailleurs évidemment

Pour passer du maximum au minimum, on changerait le sens des inégalités.

►. Nous avons supposé que les dérivées partielles du second ordre de la fonction ^(x^ y, ...) n'étaient pas toutes nulles simultanément pour j:r = a, y = é, ... ; sinon il faudrait que les dérivées troisièmes fussent nulles et qu'une certaine fonction entière homogène du quatrième degré conservât un signe constant.

On continuerait de la sorte; mais les calculs qu'exige cette discussion deviendraient bien vite inextricables.

I2âO. Au lieu de dire que les dérivées partielles

^ijc . Oy ^z

s'annulent toutes pour les valeurs a, è, c, ..., qui rendent une fonction ^(j:-, y, z, ...) maximum ou minimum, il équivaut évidemment de dire que la dilTérentielle totale

r^ dx + r* dy -Y -<^ Oz -X- ...

s'annule, quels que soient rf.r, r/y, rfz, ...

227. D'après la théorie qui précède, les valeurs des variables relatives au maximum ou au minimum d'une fonction doivent annuler les dérivées partielles de cette fonction, à moins que ces dérivées soient discontinues. Mais il peut se faire, comme Ta remarqué M. Bertrand, que les dérivées partielles d'une fonction cessent d'être déterminées pour certaines valeurs des variables, et que ces valeurs rendent en même temps la fonction maximum ou minimum.

Voici l'exemple même que M. Bertrand a choisi pour justifier son assertion :

Trouver dans le plan (Tiin triangle ABC un point M dont la somme des distances aux trois sommets soit un minimum.

Soient (jt, y), (x^, y,), [x^, y^), (j^;,, y^), les coordonnées des points M, A, B, C, par rapport à des axes rectangulaires quelconques; l'expression à rendre minimum est

et il faut égaler à zéro sa dérivée par rapport à x, et sa dérivée par rapport à y, ce qui donne

V(a?-a?,i*4-(y-y,)'» ' \l{^'-œ^f+[y-yl) sli^-^zY-i-iy-yl) wjjQ^

En désignant par aj, X), x, les inclinaisons de MA, MB, MC, sur l'axe de x^ on remplace les équations (39) par les suivantes '

cosai -f- cosa2,+ cosaj = o, sina^ + sin ag -f- sinag — o, (40)

d'où l'on déduit, en isolant cosa.^ et sinagct ajoutant la somme des carrés

cos(a^ — «2) = — r; (41)

on trouverait pareillement

ces (aj — ttg) = — Y COS («3 — a^; = — 2

Les angles AMB, BMC, GMÂ, sont donc tous les trois égaux à 120"*, et le point cherché est celui d'où Ton voit, sous un angle de 120**, chacun des côtés du triangle ABC.

Il importe de remarquer que le point d'où Ton voit chacun des côtés du triangle ABC, sous un angle de 120°, cesse d'exister lorsque Tun des angles de ce triangle surpasse 120*. Alors les équations (39) sont incompatibles, quoiqu'il résulte de la nature de la question que le minimum existe encore. Pour trouver la solution qui convient à ce cas, remarquons

que les dérivées partielles (39) se présentent sous la forme -»

si l'on prend pour le point cherché l'un des sommets A, B, C, c'est-à-dire, si on remplace, dans ces dérivées, les coordonnées courantes par celles de Tun des points A, B, C. C'est donc l'un do ces sommets qui résout la question; et, comme la somme des distances se réduit alors à la somme de deux côtés du triangle, le point cherché sera le sommet de Tangle obtus.

Généralisation du n" 220

ââtt. Soit 9 (x, ;y, :;, ...) une fonction de m -i- n variables liées par n équations.

^(^'ly»-, ...) = o, /'^{a,i/,z,...)=o, ..., A(-^»y.^. ••.)? (*2)

de sorte qu'il reste m variables indépendantes.

Pour rendre la fonction <p maximum ou minimum, oa devra poser d^ == o, c'est-à-dire

puis joindre à cette équation les n suivantes

Ix ^ ^y ^ ^ ^z '

^ rfa? + ^ % + ^^ rf^ + ... = o

qui résultent de la différenliation du système (42) .

Après avoir éliminé ?i différentielles, dx^ dy^ dz^ ..., entre les (n + i) relations (43) et (44), on égalera à zéro les coefficients des m différentielles restées arbitraires, et Ton obtiendra de la sorte m équations, qui, jointes aux n équations (42), détermineront les systèmes de valeurs de x, y, z. ..., propres à rendre la fonction s maximum ou minimum.

Pour exécuter avec élégance Téliraination dont nous venons de parler, nous ajouterons à Téquation (43) les équations (44), respectivement multipliées par les facteurs indéterminés A^, Xoî H^ ""> ^'ni qwc Ton choisira de manière à faire disparaître n ditférenticlles; mais, comme on devra ensuite, d'après ce qui a été dit dans Talinéa précédent, égaler à zéro les coefficients des m différentielles restantes, on voit qu'en définitive les coefficients de toutes les différentielles devront être égalés à zéro. Les équations ainsi formées

sont au nombre de m •+■ n. En leur adjoignant les ti rela-

î^36 CHAPITRE XIII

lions (42), on aura m -h 2n équations pour déterminer les m -h 2n quantités, X^, ..., X„, et x, y, z, ...

De là résulte la règle suivante : Pour obtenir les maxima et les minima dune fonction ç de m + n variables^ liées entre elles par n relations /^ = o^, ...,/„== o, on annulera les dérivées partielles^ par rapport aux m + n vainables^ de la fonction

où fou regardera X^, X.,, ..., X„, comme des constantes. On obtiendra de la sorte m + n équations^ qui, jointes aux n équations de liaison /*, = o,/, == o, ...,/„ = o, donneront les quantités X|, ..., X„, ainsi que les valeurs des m + n variables, j?. y, 2, ..., correspondent aux ma^tinm ou minima de ç.

d2Iâ9. Supposons, pour prendre un exemple, qu'il s'agisse de trouver le minimum de la fonction

les trois variables ./, //, z, étant liées par la relation

ajc + by -\- cz =z /r, (46)

où a, i, c, k sont des constantes données.

D'après la règle du numéro précédent, on est conduit à égaler à zéro les dillérentielles partielles par rapport à j:, y, z, de l'expression

a?2 + y* + -2* + 2X {a.r 4- by + c^ — k).

On obtient de la sorte les trois équations