X -\- a\ =: o, y -|- ôX = o, ^ -j- cÀ =r
qui, conjointement avec (46), détermineront ./•, y, js, après qu'on aura éliminé X.
MAXIMA ET MKMMA 237
On déduit des équations (47) les égalités
z __ y z ax -1" hy 4- cz
d'oîi résultent, pour les valeurs de x, y, z relatives au minimum de 9,
et, par suite, pour la valeur minimum de ç,
ht
D'ailleurs l'interprétation géométrique montre immédiatement qu'il s'agit ici d'un minimum; ç représente en effet le carré de la distance de Torigine à un point (.r, y, z) du plan^aj- -^ by -\- cz = k.
^laxima et minima des fonctions implicites
230. Soit y une fonction liée à une variable x par une équation
non résolue par rapport à y. Pour trouver les maxima et les niinima de y, on différentiera l'équation (49), ce qui donne la relation
laquelle se réduit à
pour les valeurs dex qui rendent y maximum ou minimum.
On cherchera donc les divers couples {x^^ y,), (j?.,, y?)» (oTg, yg), ... de solutions communes aux équations (49) et (51), et c'est parmi les termes de la suite Xj, x.2y x^^ ... que se trouveront les valeurs de x relatives aux maxima et aux minima de y.
Pour reconnaître si une solution des équations (49) et (51) répond véritablement à un maximum ou à un minimum, il faut considérer la dérivée seconde. En différentiant l'équation (50), on obtient la relation
laquelle, parTintroduction de la condition y' = o, se réduit à
(52) d'où
Ja:»
Il y aura maximum ou minimum suivant que la solution considérée rendra le second membre de (53) négatif ou positif.
Si-T^ est nul, il faut recourir aux dérivées d'ordre supérieur.
Considérons, comme exemple, la fonction implicite y définie par l'équation
f{x, y) = x^ + y* - 4xy = o. (54)
On a ici
;^ = 4,.--y), f=i[y^-.), g=lî.«. (55)
Le système formé par Téquation (54) et par Téquation
a? — y = o ont pour solutions communes x = =fc v'S,
y == =iiv/27; d'ailleurs la dérivée seconde, c'est-à-dire le
second membre de la relation (53), est négative pour a: = + v/3
et positive pour x •= — y^S ; il y a donc maximum dans le premier cas et minimum dans le second.
du
dx
ce qui donne
ox ^y dx^^ ^z dx ox cy dx cz dx [
^y dx ^z dx
On élimine ^> ^» et Ton obtient une équation qui, de
concert avec les relations (56), détermine x, y, 2, w.
En différentiant de nouveau les relations (56), on
obtiendra ^-^; on y substituera les valeurs trouvées pour x,
â31 . Supposons maintenant que Ton ait m + 1 variables ^
liées par m relations, par exemple quatre variables x, y, z, m, \
liées par trois équations
Tk (a?, y y 3^, u) = o
X étant choisie pour variable indépendante, //, z et u seront des fonctions de x. Considérons Tune quelconque de ces fonctions, u par exemple. Pour trouver les valeurs de x qui répondent aux maxima ou aux minima de i/, on différentie les relations (56), en traitant y, 2, t/ comme des fonctions dex et tenant compte de la condition
y, 2, u, et, suivant que le résultat obtenu sera positif ou négatif, u sera un maximum ou un minimum.
Observons d'ailleurs que rélimination de-^^et de -j- pourra
se faire par la méthode des multiplicateurs. A cet effet, on ajoutera les équations (57) multipliées respectivement par 1 , X et [A, et on choisira les multiplicateurs X et jjl, de telle sorte que
dans le résultat les coefficients de -f^ et de -r- soient nuls.
â3â. Considérons enlin le cas (Tune fonction implicite de plusieurs variables indépendantes.
Soient, par exemple, trois relations
r'i{^,Py^f^y^)=0 , (58)
entre deux variables indépendantes, ./•, y, et trois fonctions, z, //, t^ de ces variables; il s'agit de trouver les raaxima ou minima de Tune de ces fonctions, de v par exemple. On doit avoir
r- — o, r- — o, et par suite la différentielle totale de r, c'est-à-dire
doit être nulle.
En différentiant les équations (58) et ayant égard à la condition dv = o^ on aura les relations
. ^.^ 4- r^-^ dy 4-"^ dz -}- r^ du =: o
g^ + ^rfy4.grf, + ^rf„ = 0 }. (59)
