C.T 01/ CZ CU
dans lesquelles dx^ dy sont constantes, tandis que dz et du sont les différentielles totales de u et de i\ considérées comme des fonctions à!x et d'y.
L'élimination de dz et de du entre les équations (59) donnera une relation de la forme
?dx + Çldy =r 0,
qui, puisque dx et dy sont indépendantes entre elles, se décompose dans les deux suivantes
Les équations (58) et (60) donneront les valeurs demandées de Xy y, 2, w, v.
Pour la distinction entre le maximum et le minimum, il faudra avoir recours au signe de la différentielle totale du second ordre d-v.
Méthode de Fermât
Nous ne saurions clore ce chapitre sans faire connaître brièvement la première méthode générale, pour la recherche des maxima et des minima. Cette méthode, due à Fermât, est fondée sur l'observation suivante :
Quand une fonction continue ^ [x] passe par un maximum ou un minimum, elle prend, un peu avant et uu peu après cet état critique, les mômes valeurs avec ou sans symétrie. La considération de la courbe représentée par l'équationy = ç (x) rend intuitif ce principe, d'où découle la règle suivante :
Pour chercher dans quelles circonstances une grandeur variable devient maximum ou minimum^ on exprimera que cette grandeur^ considérée dans deux états infiniment voisins, a la même valeur. Légalité qui en résulte , prise à la limite où les deux états se confondent^ fera connaître une propriété caractéristique du maximum ou du minimum.
Glotte règle a son importance propre, à côté de la théorie
CALCUL IXFINITKÎSIMAL, i6
2 44 CHAPITRK XIV
Si, .T\, restant constant, X est variable, Tintégrale (2) devient une fonction de X, qui (n** 4) a pour dérivée /(X), c'est-àdire est une fonction primitive de /(X).
Or, si o (X) désigne uno fonction primitive quelconque de (X), 9 (X) — 9 {xq) sera celle des fonctions primitives de (X), qui s'annule pour X = Xq, et comme l'expression (2) représente cette môme primitive, on a la formule
i f ix) d.r m 9 (X; — 9 (./'o), (3)
Xçt
qui est fondamentale.
Observons enfin que la lettre x^ qui figure au premier membre de la formule précédente, peut être remplacée par toute autre lettre.
Convergcnc49 uniforme
^35. Considérons une série
dont les termes sont des fonctions déterminées d'une variable X, et supposons que cette série soit convergente, lorsque x prend une valeur quelconque comprise dans un intervalle [a, h), fini ou infini. Il résulte de la définition même de la convergence que Ton peut trouver un nombre positif N toi que, pour a ^ N, on ait
£ étant une quantité arbitraire donnée à Tavance, et R^ (^) désignant le reste
correspondant au rang n.
Le nombre N dépend en général de s et de la valeur x choisie dans Tintervalle («, b). Lorsque N ne dépend que de £, c'est-à-dire est le même pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle (a, i), on dit que la série est uniformément convergente dans cet intervalle.
Les séries uniformément convergentes sont particulièrement intéressantes. Voici pourquoi :
Si la série (4) est uniformément convergente dans un intervalle («, ô), la somme
représente la fonction f{x) définie par la série avec une approximation dont la limite supérieure s est la même pour toutes les valeurs de x appartenant à Tintervalle (a, b) ; on " peut donc, par Télude de la somme S^, reconnaître aisément, du moins avec une certaine approximation, la marche de f{x).
Les choses vont moins simplement lorsque la série (4) est convergente dans Tintervalle {n^ b) sans Tôlre uniformément. Pour avoir alors /(j:) avec une même approximation, il faut, suivant les cas, c'est-à-dire suivant la valeur de .r, employer un nombre de termes tantôt assez petit, tantôt fort considérable.
236. Il est en général difficile de reconnaître si une série donnée est ou non uniformément convergente; car, ce n'est que dans des cas exceptionnels que Ton peut trouver soit l'expression de R„ (.r), soit une limite supérieure de la valeur absolue de ce reste.
Toutefois la remarque suivante permet souvent de décider la question.
Une série à termes variables est uniformément convergente dans un intervalle donnée si ses termes sont moindres en valeur absolue que les tennes correspondants d un e série à termes positifs convergente et numérique, c'est-à-dire dont les termes ne renferment pas la variable x. En effet, en désignant par
24t) CHAPITRE XIV
K„ et p„ les restes correspondants des deux séries, on a
Mais, puisque la série de comparaison est numérique el convergente, on peut, £ étant donné, déterminer un nombre N indépendant de x^ de façon que Ton ait p„ < £ et a fortiori,
I Rn |< 6.
1237. Voici des applications de cette règle : V. Soit la série
a| sin[:ifâ?, a2sin^2'^'' ••••> W
où ^j, ^2' "'9 désignent des quantités quelconques, tandis que a|, 02, ..., sont des quantités positives formant une série convergente. La série (5) est uniformément convergente dans un intervalle quelconque, car ses termes sont respectivement inférieurs (ou égaux) en valeur absolue aux termes correspondants de la série a|, a,, ...
2° Considérons la série exponentielle
*' ^' S' rlTs' - ^^^
Elle est uniformément convergente dans lotit intervalle fini ; car, si Ton désigne parX la plus grande des valeurs absolues que peut prendre la variable x, les termes de la série (2) sont respectivement moindres que ceux de la série conver-
gente
Mais la série (6) n'est pas uniformément convergente dans rintervalle ( — oo , + oo ). En effet, si x est > o, on
a R„ > - — — ; et quelque valeur que Ton fixe pour n,
X*^« m a » il
x" la quantité j—r prend, lorsque j' croît, des valeurs aussi
