X ./W. » m » il
grandes qu'on veut et par suite peut surpasser toute valeu r donnée s.
Propriétés des séries uniformément convergentes
2238. Si les termes d'une série w,, u.^, ..., sonl des fonctions continues d'une variable x dans un intervalle {a ^ ô}, et si la série est uniformément convergente dans le même intervalle, la somme de la série est une fonction f{x) continue dans r intervalle {a^ b).
En effet, écrivons
Par hypothèse, on peut choisir /* assez grand pour qu'on ait
X étant quelconque dans l'intervalle («, é) et s étant une quantité assignée à l'avance et aussi petite qu'on voudra.
On aura dès lors, quelles que soient les valeurs de x et de X dans l'intervalle considéré,
et
Mais la fonction i/| + M2 -|- ... + î^«, somme d'un nombre limité de termes continus, est continue; donc on peut prendre x assez rapproché de x pour que la différence des parenthèses qui figurent au second membre de (7) soit moindre en valeur absolue que s ; on a donc, pour x assez voisin de x,
ce qui prouve la continuité de f[x).
â39. a et p étant deux nombres compris dans Tintervaile (a, 6), on a évidemment
/■(a?) dx = I u^dx -\- j u^dx + ... -|~ / ^ndx -\- j R«(ar) dx.
Mais, w étant déterminé comme dans l'alinéa précédent, et ej désignant un nombre aussi petit qu'on veut, on a
J ï{„{x)dx < t^ (P — a).
Donc la série
u^dx + / «2^ 4" ••• a a
est convergente et a pour somme / /'[x] dx.
Ainsi on aura tintégrale de la série en intégrant chaque terme entre les deux tnêmes limites et faisant la somme des intégrales obtenues de la sorte,
240. La règle relative à la dérivation de f[x) est moins simple. En supposant que les fonctions 2/|, Wo, ..., v^i .-.» aient des dérivées continues, la série de ces dérivées
du^ . du^ , I ^"» I /Q^
n'étant pas nécessairement convergente, ne saurait toujours représenter la dérivée de f{x). Mais, si la série (8) des dérivées est uniformément convergente dans un intervalle (a, é), on peut affirmer que cette série (8) représente, dans cet intervalle, la dérivée de la fonction f{x).
En effet, posons, en supposant la série (4) uniformément convergente.
on aura, en intégrant (n® 239) entre les limites a et x, et désignant par X„ la valeur que prend ifn{j^) pour x = a
J^U)dx:=z (m, —>,)*+ (Wj— '^2) + .-. + {^n — \i) + ... a
Mais, puisque les séries ïi,, ^^,, ..., «/„, ... et Aj, X.,, ...,X„, ... sont absolument convergentes, on peut rem placer le deuxième membre par
--= f[x) — (X^ +^2 + ... + /,, + ...), d'où f^{x) ==/'(x), puisque les X sont des constantes.
Séries entières, — Théorèmes d'Abel
241. Les séries de fonctions les plus importantes son les séries entières^ c'est-à-dire les séries de la forme
où X désigne une variable quelconque et %, u^, Uo^ •-.»''»»» -"i des coefficients constants. Nous désignerons par «q, «j, «o, ..., a„, ..., les modules, c'est-à-dire les valeurs absolues de ces coefficients.
Abel a donné, relativement aux séries entières, deux propositions qui jouent, en analyse, un rôle très important.
Voici le premier théorème d'Abel :
Si pour une valeur de la variable x, dont le module est r\ les modules des termes d'une série entière (9) sont inférieurs à un nombre positif et fini M, la série sera convergente pour toute valeur de x dont le module est moindre que r.
En effet, attribuons à x une valeur dont le module r soit moindre que /, et multiplions respectivement par les nombres
les termes de la série coiivergeote (progression iadéfiiiimen l décroissante)
Gomme, par hypothèse, li»s nombres (10) sonl tous inférieurs à M, nous obtiendrons de la sorte (n** 140) une nouvelle série convergente
or, cette série n'est autre que la série (9), dans laquelle on remplace chaqu î terme par sa valeur absolue. Donc la série (8) est absolument convergente pour toute valeur de x dont le module r est inférieur à r .
â42. L'hypothèse qui figure dans la proposition précédente consiste en ce que les nombres (10) sont tous inférieurs à un nombre M fini et positif, c'est-à-dire en ce que Ton a pour cette valeur de n
or cotte hypothèse est toujours réalisée, si la série (9) est convergente, puisque «„r'" est la valeur absolue du terme général et que dans toute série convergente le terme général tend vers zéro.
Nous pouvons donc donner, du théorème précédent, le nouvel énoncé :
Si une série entière (9) est convergente pour une valeur de X ayant pour module p, elle est convergente pour toutevaleur de X ayant un module inférieur à p.
243, Il résulte de là que si une série entière (9) est divergente pour une valeur x^ de la variable x, elle est divergente pour toute valeur x.^ ayant un module supérieur à celui de x^.
En effet, si la série était convergente pour x = ./•„ elle
serait (n° 242) convergente pour la valeurs = a:,, dont le module est inférieur à x.>.
Z244. Imaginons qu'on fasse varier x de telle sorte que son module p aille en croissant et que les modules correspondants des divers termes de la série restent finis. Les valeurs de p ont en général une limite L, et alors (n* 241) la série (9) est convergente pour toute valeur de x ayant un module inférieur à L. On donne à ce nombre positif L le nom de rayon de convergence.
Ce rayon peut d'ailleurs être nul ou infini ; dans le premier cas, la série n*est jamais convergente ; dans le second cas« la série n'est jamais divergente.
La série
i+f+f +--ff + ■•• (11)
offre un exemple du ca§ où le rayon de convergence L n'est ni nul ni infini ; car le terme général tend vers zéro ou vers rinfini, suivant que la valeur absolue de x est inférieure ou supérieure à 1 . Le rayon de convergence L est ici égal à l*unité. La série est d'ailleurs convergente pour a: = — 1 et divergente pour j: = 1.
La série
* + î + T:î + - + rm; + - (*^)
a son rayon de convergence infini ; elle converge pour toutes les valeurs de x.
Enfin la série
1 + ^ + 4a?^ + ••. + «"it?'* 4" •••
a son rayon de convergence nul ; elle diverge pour' toute valeur de x (autre que zéro).
â4^o. Abel a donné, sur les séries entières, un second théorème plus complet que le premier :
Si une série entière (9) est convergente pour une valeur X de la variable x^ elle est uniformément convergente pour toutes les valeurs de x satisfaisant aux inégalités.
La démonstration est fondée sur le lemme suivant : Soient n quantités quelconques, ?/|, Ui, ..., w„, et n multiplicateurs positifs £,, s.,, ..., £„, tels que chacun d'eux soit au plus égal au précédent.
Si Ton désigne par s l'expression
et par s et S la plus petite et la plus grande des sommes
on aura
e^^^Si^e^S. (14)
En effet, on peut écrire et par suite
S = 6,5^ + 62 (*2—^*) + ••• + 6/1 (*« — «/i-l)» OU
^ = («4 — Êa) ^\ + U2 — 63) ^'2 + ••• + ««*«•
Or, par hypothèse, les coefficients de 5,, s^j ..., a'„, sont positifs ou nuls. Si donc, à la place de ^j, ^9» •••» ^n^ on met successivement 5 ou S, on aura d'abord une limite inférieure e|5, puis une limite supérieure sjS de S, ce qui démontre les inégalités (14).
Ce lemme établi, arrivons au théorème d'Abel.
La série
a^ + a^X + «2^^ + ••• + ^rt^'* + ••• (*S)
SÉRIES DE FONCTIONS. — SÉRIES EiNTIÈRES 253
étant supposée convergente d'après Ténoncé, on pourra prendre n assez grand pour que chiacune des sommes
a«X« + rt„^^X" + «,
soit inférieure en valeur absolue à s.
Le nombre n étant ainsi déterminé, attribuons, dans la série (9), à la variable une valeur x comprise entre zéro et X et pouvant d'ailleurs être égale à Tune ou l'autre de ces limites; la somme S des termes qui, dans la série (9), suivent le 71™% peut s'écrire
««x«(iy +a„^,x«^* (If + ... +«„+pX«^/'(iy^'\
les quantités
étant toutes positives et telles que chacune d'elles est inférieure ou égale à la précédente.
Dès lors, en vertu du lemme, la somme S est en valeur
absolue, inférieure à s (^ ) » et a fortiori à s. Donc, il existe
un nombre /i, valable pour toute valeur de x comprise entre o et X inclusivement, et tel que le reste R,. (x) de la série (9) soit en valeur absolue inférieur à e; ce qui prouve le second théorème d'Abel.
u En combinant ce théorème avec la proposition du n* 238, on voit que, si une série entière (9) est convergente pour une valeur X de la variable x^ la somme de la série est une fonction ç> (x) continue dans l'intervalle (o, X), y compris les limites de cet intervalle. Si donc x tend vers X par des valeurs inférieures en valeur absolue à | X | , la limite de <^{x) est 9 [X).
toi CHAPITRE XIV
Par exemple, soit l'égalité
qui a été établie (n* 159) pour x compris entre zéro et un ;
1 1 la série convergente 1 — 5 -+" ô' ... a pour somme log 2.
Application au développement de (1 + j;)
'• Nous avons vu, au n** 157, que, pour toute valeur comprise entre — 1 et + 1, (l + r)'" est la somme de la série
t + ;;,,+^LJ!^..>+... + >»^-^-')-^-'>"-»+<)^ + ... (16)
l.*ar< \ , »d t » m fi
Si j: tend vers 1, (1 + xf" tend vers 2"\ Par suite, d'après le n** 246, pour .r = 1, la série (16) représentera 2™, quand elle sera convergente. On est donc conduit à chercher dans quel cas cette série est convergente.
Le rapport d'un terme au précédent a pour expression
si donc on a m 4- 1 :^ o, les termes ne sauraient décroître indéfiniment, et la série est divergente.
Supposons, d'après cela, m > — l. Pour fi assez grand, la valeur absolue du rapport (17) sera
et nous aurons une série alternée dans laquelle le rapport
d'un terme au précédent est < 1 en valeur absolue ; en sorte que, pour prouver la convergence, il suffira de faire voir que le terme général tend vers zéro.
A cet effet, considérons simultanément la série
vJji» *-'|l •••! ^/Il •••»
formée par les valeurs absolues des divers termes et la série
dont le terme général V„ = -j^^^- Nous aurons, par la formule de Maclaurin bornée au second terme,
V„ -V + n) -^* —ir+ n •nA^ + n) '
c'est-à-dire
