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V„ '" Un

et par suite

puisque R est évidemment positif.

On déduit de là sans difficulté

or, si laissant 7i fixe, on fait croître y> indéfiniment, V,,^,, tend vers zéro. Donc, en vertu de Tincgalité précédente, U„+,, tend aussi vers zéro.

Ainsi la série (16) est convergente et représente 2"', quand in est supérieur à — 1,

On démontrerait, par un raisonnement analogue, que la série (16) converge pour x = — 1, quand ni est positif; sa somme est alors égale à zéro.

Intégration et diifférentiation des séries entières

â248. Soit L le rayon de convergence de la série entière

f{pD) = ÛQ + a^x -[- ^t^^ + ..• + ^w^" + ••• (1^)

Dans tout intervalle (a, p) compris entre ( — L, L), a et 3 étant distincts de — L et de L, la série est uniformément convergente, et le théorème du n° 239 est applicable. En particulier, si Ton choisit pour (a, 3) l'intervalle (o, x), X étant inférieur à L en valeur absolue, on a la formule

1249. Considérons maintenant la série

a^ + ^a^x + ... + wa„a;«-* + ... (20)

formée par les dérivées des termes de la série entière (18). Soit X un nombre dont le module est compris entre | x \ et L, L étant le rayon de convergence de la série (18). Supposons en outre X de même signe que x^ la série

^ +'Ki) + ^ ©' + - + ""(ly'' + - (^*)

est convergente, puisque le rapport d'un terme au précé-

dent a pour limite y, qui est moindre que 1.

D'ailleurs cette série (21) a tous ses termes positifs, et si on les multiplie respectivement par les nombres

flp «^X, fljX^ ..., rt«X'*-\ ... (2i)

on tombe sur la série (20) ; donc, pour prouver la conver-

gence de cette série (20), il suffit de montrer que les

multiplicateurs (22) restent finis. Or, cela résulte immédia-

lement de ce que «nX**-* est le produit du nombre fixe ^

par rt„X,., qui est le terme général d'une série convergente.

La série (20) est donc absolument convergente dans Tintervalle ( — L, L), et, par suite, uniformément convergente dans tout intervalle (a, 3) compris dans le précédent (a et 3 étant distincts de — L et de L).

Donc (n** 240) la série (18) représente la dérivée /^(j:).

Ainsi, une série entière définit^ dam lin/ervalle ( — L, L). L étant le rayon de coni:ergence^ une fonction continue et ayant pour dérivée la série former par les dérivées de ses divers termes.

:250. Il importe de remarquer que, le rayon de convergence L, de la série donnée, est aussi le rayon de convergence des séries qu'on en déduit par intégration ou par différentiation. En effet, soit L^ le rayon de convergence de la série intégrale ; L^ ne peut être inférieur à L, d'après ce qui précède, et si L^ était > L, la série donnée, qui résulterait par dérivation de cette série intégrale, serait convergente dans un intervalle ( — Lj, L^) plus étendu que son intervalle ( — L, L) de convergence.

Séi'ies de puissances de deux variables indépendantes

^ol. Les séries examinées jusqu'à présent définissaient des fonctions d'une seule variable. Il est aussi facile d'obtenir des fonctions définies par des séries contenant deux ou un plus grand nombre de variables. Nous n'examinerons que celles qui sont ordonnées par rapport aux puissances ascendantes de deux variables, et nous ne démontrerons, à leur sujet, que deux théorèmes.

CALCUL IHFIMTéSUIAL. 17