Soit

S = 2a«pa?«yP

une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de x et de // ; soit encore, en désignant les modules par des grandes lettres

la série des modules. Nous allons prouver que la première est convergente, si la seconde Test.

Remarquons d'abord que, si la seconde série est convergente, le terme général devra tendre vers zéro. Supposons qu'il en soit ainsi pour un système de valeurs X=X,, Y = Yj, non nulles des variables, et soit r la plus petite des deux quantités X,, Y,. Le terme général devant tendre vers zéro, on aura a fortiori

Uni Aafjr«rP = o,

pour a ^= 00 , ji == X . 11 existera donc un nombre M tel que l'on ait pour tous les termes

Aa^r^H^P < M, M

^ap < -:77p"

Cela posé, nous allons montrer que non seulement la série S,

, ,. , . t)S dS c)*S . .

mais encore les diverses séries— >—» --::» ..., obtenues en

prenant les dérivées de chaque terme de S sont convergentes pour les valeurs de x et de y, dont les modules sont inférieurs ou égaux à une quantité quelconque p inférieure

dS à r. Considérons, par exemple, -^-