V: =Sartrapa7«-*yP
Le module d'une somme étant au plus égal à la somme
des modules, on aura
iM
^SaA.|,X«-'Y?<2;^pP"^^ '
Cette dernière série est le produit des deiix séries convergentes
MS ^^^ et S ^ ; elle est donc elle-même convergente.
Théorème du changement de variables
12r^3. Supposons que, dans la série précédente S, on remplace :r et y par de nouvelles variables ainsi définies
supposons ces deux dernières séries convergentes pour
supposons enfin
Nous allons démontrer que la fonction S, exprimée au moyen des nouvelles variables, sera donnée par une série
S = Sfl^^sMÏy^,
qui est convergente tant que ii et v restent inférieurs à un nombre donné non nul.
Tout le théorème consiste en ce que l'on peut intervertir, après substitution, Tordre des termes, et Ton sait que c'est possible dans les séries absolument convergentes. Consi-
dérons donc la série des valeurs absolues
SAap [SB,6UTV8]« [SC,sUTV«]P. (23)
Par hypothèse, il existe des nombres, M, N, P, tels que Ion ait
Btô < 5^770' On a donc
sCyôUîv^ < p
Supposons que, (i. étant un nombre donné inférieur à X, on ait
les inégalités précédentes entraînent
EB^sUn» <
2C,sUïV« < P
Déterminons maintenant ix, de manière que les seconds
membres soient inférieurs à r, ce qui exige que Ton ait
Choisissons pour (jl la plus grande des valeurs satisfaisant à ces deux inégalités ; nous pourrons affirmer que les deux séries SByôUtV« et SCysIIyV^ prennent des valeurs S^ et S^ inférieures à r. La si^rie (23) sera inférieure à
ce qui assure la convergence absolue de la série
et, par conséquent, démontre le théorème.
âo4. Au lieu d'une série, supposons que S soit un des polynômes x + y, x — y, xt/, La démonstration précédente s'applique. L'addition, la soustraction, la multiplication de séries qui sont convergentes, tant que les variables restent inférieures à un nombre donné, conduisent à des séries de môme nature.
FOxNCTIONS D'UNE VARIABLE IMAGLNAIRE
Définitions relatives aux expressions imaginaires
1255. 11 n'a été question, dans les chapitres précédents, que des fonctions réelles de variables réelles. H s'agit maintenant d'étendre notre analyse au cas des fonctions d'une variable imaginaire.
Mais il importe de rappeler d'abord les propriétés fondamentales concernant les quantités imaginaires, c'est-à-dire les quantités de la forme
a -\- bi,
a qI b désignant des nombres positifs ou négatifs, et i le
symbole y/ — 1.
On peut toujours trouver un nombre positif/* et un angle a, tels qu'on ait
a -\- bi = r(cosa -|- i sina). (1)
11 suffit, en eflTet, de prendre
et
cosa= , 1 8ma=: ,
FONCTIONS d'une VARIABLE IMAGINAIRE 263
Le nombre positif r est dit le module^ et Tangle a est dit Varginnent de la quantité imaginaire a -h bi.
Des formules précédentes résultent aisément les résultats suivants :
1* Le module /• est parfaitement déterminé, tandis que Targumeiit a admet une infinité de valeurs formant une profçression arithmétique dont la raison est27:;
2" Pour qu'une quantité imaginaire soit nulle, il faut et il suffit que son module soit nul.
3° Pour que deux expressions imaginaires soient égales, il faut et il suffit que leurs modules soient égaux et que leurs arguments diffèrent d'un multiple de 2::.
Observons enfin que lt;s quantités positives ou négatives peuvent être considérées comme des expressions imaginaires dont le module est égal à leur valeur absolue, et dont Targument est un multiple pair ou impair de ::. C'est ce qui explique pourquoi nous avons souvent employé déjà le mot nlodide pour désigner la valeur absolue d*une quantité réelle.
Module d'un produit ou d'une somme
22oO, En multipliant Tune par Faulre deux expressions imaginaires
r, (cosa^ + ' sinx/), rjfcosaj + i sinaa), (2)
on obtient sans difficulté l'expression imaginaire
/•^rjicos(a^ + «a) + i sin(a, -j- a^);, (3)
dont le module est égal au produit des modules des facteurs et dont Targument est la somme des arguments.
La proposition s'étend d'ailleurs au produit de m facteurs; il faut toujours multiplier les modules et ajouter les arguments.
En particulier, si Ton suppose les m facteurs égaux entre
eux et ayant chacun pour module l'unité, on obtient une formule célèbre
(cos a + I sin a)"» = cos m% -j- % sin ma, (4)
qui a reçu le nom de formule de Moivre,
Elle donne immédiatement les valeurs de cos//ia et de sin/>/a, en fonction de sin a et de cos a; en effet, en combinant par addition et par soustraction la relation (4) et celle qu'on en déduit en changeant a en — a, on obtient
2 cos wa = (cos CL -\- i sin a)'" -f- (cos a — i sin a)"* }^ y^ 2.Î sin m 2. = (cos a -(- ^ sin a)"* — (cos a — i sin a)"* l ^
âo7. Ponr qtf'ttn pi^odiùt de plusieurs facteurs soit nu/y il faut et il suffit que Cun des facteurs soit nuL
Ce théorème, démontré dans les éléments pour les facteurs réels, s'étend aux facteurs imaginaires. Cela résulte immédiatement du n° 255, 2°, et du n° 256.
d258. Deux axes rectangulaires Ox et Oy étant tracés dans un plan, on représente une quantité imaginaire quelconque a + hi par le point M du plan, ayant a pour abscisse et b pour ordonnée. La distance OM de l'origine 0 au point M est égale au module de l'expression imaginaire, et l'angle XOM est l'argument.
Ce mode de représentation imaginé, par Gauchy*, permet souvent de simplifier les énoncés et même les démonstrations.
Par exemple, si A et B sont les points représentatifs de deux quantités imaginaires, on voit de suite, en complétant le parallélogramme AOBC, que Ton a
OC < OA + AC ou OC < OA + OB,
c'est-à-dire que le înodule de la somme est moindre que la somme des inoditles. Ce théorème subsiste quel que soil le nombre des termes de la somme.
> Cauchy donne au point représentât! FM d'une expression imaginaire le nom d'affijoe de cette expression.
FONCTIONS d'une VARIABLE IMAGINAIRE 265
Séries xk termes iinaç|inaires
•2o9. Lorsque deux séries ?/j, 2/^, «3, ..., v» •••» ^t t\, V,», ..., Vn^ ..., à termes réels, sont convergentes et out respectivement pour sommes U et V, on dit que la série
est convergente et a pour somme U + i\ .
La série (6) est dite au contraire divergente si les deux séries (5) ne convei'gent pas Tune et l'autre.
U est à peine besoin d'observer que, si la série (6) est coîivrrgente^ son terme général doit tendre ve?'s zéro, loi'sqiie n croit indéfiniment^ puisque tt^ et r„ tendent vers zéro.
Une série (6) est convergente lorsque les modules de ses termes forment une série convergente.
En effet, soient r„ le module et a„ l'argument du terme général, on aura
n,^ = r„ ces a„ et v„ = r„ sin a» ;
u„ et On sont donc moindres en valeur absolue que r„, et puisque la série r^, ;\„ ..., r„, ..., est par hypothèse convergente, les séries w,, i/.,, ..., et t?,, r.,, ... sont convergentes et par suite aussi la série (6). Cette série étant d'ailleurs absolument convergente, on montre, comme, dans le cas des quantités réelles, qu'on peut changer l'ordre des termes sans altérer ni la convergence ni la somme.
Enfm le théorème de Gauchy sur la multiplication de deux séries subsiste pour les séries à termes imaginaires. En effet, observons d'abord que le théorème, ayant été démontré au n° 144 pour des séries à termes réels, est exact pour les deux séries
formées par les modules des termes des séries proposées à termes imaginaires (6).
Or si Ton pose
Sn = Wo -f V^ + ... +?/«-,, ^n='^0 + V^ 4- ... + U,,^,
on a
En prenant alors les modules des deux membres, et observant que le module d'une somme est au plus égal à la somme des modules, on voit que le module ^^. de s,,^,; — .s* est égal ou inférieur à
c'est-à-dire à
Mais, quand n croit indéfiniment, la limite de cetle expression est nulle; donc ;j. a aussi pour limite zéro; en d'aulres termes, la limite des)^ est égale au produit des limites de >„, .v,^. Ces préliminaires étant établis, nous pouvons passer à la définition des fonctions d'une variable imaginaire.
Iléiiiiitiou d'une fouclioii d'une variable
imaginaire
d200. « Lorsqu'une fonction (^(z) est donnée pour toutes « les valeurs réelles de la variable dont elle dépend, elle « n'acquiert pour cela aucun sens lorsqu'on y remplace z « par une expression imaginaire x + yi. L'expression « 9(^H-y/) ne peut donc s'introduire dans les calculs ou dans « les raisonnements, sans une définition précise, qui, pour « toutes les valeurs réelles de x et de y, en fasse connaître « la partie réelle et la partie imaginaire en permettant
FONCTIONS d'une VARIABLE IMAGINAIRE 267
« d*écrire
« P et Q étant deux fonctions réelles connues de x et de y. « II ne faut pas croire cependant que toute expression
« P + Qz, où P et Q sont des fonctions des variables
« réelles x et y, soit une fonction de j: + yi. Pour la con-
« sidérer comme telle, on exige une condition sans laquelle
« disparaîtrait toute analogie entre les fonctions imaginaires
« et les fonctions réelles; il ne suffit pas que l'expression
« P + Qi soit déterminée lorsqu'on se donne x et y\ il
« faut encore qu'elle ait une dérivée déterminée. Si Ton
« voulait s'affranchir de cette condition, la théorie des fonc-
« tions imaginaires serait simplement celle des fonctions
« réelles de deux variables, et leur étude spéciale n'offri-
« rait aucun intérêts »
5i6I. Cherchons donc la condition que doivent remplir P et Q pour que Texpression P + Q?' ait une dérivée unique. Nous supposons d'ailleurs que P et Q soient des fonctions continues et aient des dérivées partielles continues.
Le rapport
Aa? -|- i\y peut être mis sous la forme
Lorsque Ao" et Ay tendent vers zéro, il en est de même de ê, s', r„ r/, et si l'on désigne par ja la limite du 'rapport
-r^» on aura pour la limite du rapport (7)
?P , DP , . /DQ , DQ\
3^ + '^D^ + 'tv+''W
' J. fiEHTHARb, Traité de Calcul di/férenliel el iniégraL
On voit que cette limite dépend de [l. L'expression P + Qi a donc, pour chaque valeur de la variable x -+- yi, une inlînité de dérivées qui diffèrent suivant la manière dont dx + idy tend vers zéro. Pour que la dérivée soit unique, c'est-à-dire pour que le rapport (8) soit indépendant de jjl, il faut et il suffit, d'après un théorème connu d'algèbre élémentaire, que, dans (8), le rapport des quantités qui ne contiennent pas \l soit égal au rapport des coefficients de ^. ; on aura donc la relation
^P , .^Q c>P , .DQ
ex ££ oy ' oy
qui équivaut aux deux suivantes
Telles sont les conditions pour que P H- Qi ait, pour chaque point, c'est-à-dire pour chaque système de valeurs de X et de y, une dérivée unique. On dit alors que l'expression P + Qî est une fonction analytique de x + yi ; en outre la dérivée est représentée par Tun quelconque des deux membres de Tégalité (9).
Séries ciiiièi*es d'une variable imaginaire
202. Les séries ordonnées suivant les puissances entières et croissantes d'une variable z jouent un rôle très important en analyse. Nous avons étudié ces séries (n® 241)
dans le cas oîi les coefficients ûq, «j, ..., et la variable z sont réels. Nous allons maintenant généraliser les résultats obtenus, en supposant que les coefficients a^, a^, ..., et la variable z soient imaginaires.
FONCTIONS d'une VARIABLE IMAGINAIRE 269
Et d'abord le premier théorème d'Âbel subsiste. Voici son énoncé :
Si pour tmp valeur z^ de z on «, quel que soit n,
I anz% I < M,
M étant un nombre fixe^ la série (11) sera convergente pour toute valeur de z ayant un module moindre que celui de Zq,
La démonstration donnée au n° 245 reste la même; il n'y a qu'à remplacer les mots valeur absolue par module.
On peut aussi, comme noxis lavons fait à Tendroit cité, déduire de l'énoncé ci-dessus le suivant, qui n'en diffère pas au fond :
Si la série (H) est convergente pour z --= Zq^ elle est absolument convergente pour toutes les valeurs de z de module moindre que | ^o I •
263. Désignons par R le plus grand module de z pour lequel les modules des termes de la série n'augmentent pas indéfiniment, et soit C la circonférence ayant pour centre l'origine et pour rayon R.
D'après le théorème ci-dessus, la série ^11) converge pour toute position du point z dans l'intérieur du cercle G. Elle diverge pour tous les points extérieurs; car, si on attribue à z une valeur ayant un module supérieur à R, les modules des termes augmenteront indéliniment. — On donne, d'après cela, au cercle G le nom de cercle de convergence de la série. Il sépare la région où la série converge de celle où la série diverge.
Il y a incertitude sur la circonférence G. Toutefois on peut affirmer alors qu'il y aura divergence si, pour le module R, les modules des termes ne tendent pas vers zéro.
d264. La série (il) et la série
a^ + 2«2^ -^ Za^z^ + ... + nanZ"-^ -f ..., (12)
formée par les défnvées des divers termes de (H) ont le même cercle de convergence.
En elFet soient G le cercle de convergence de la série (U) et R son rayon, imaginons un cercle C concentrique avec C et dont le rayon R', moindre que R, peut en différer aussi peu qu'on veut. Enfin attribuons à :; une valeur dont le module ;• soit inférieur à R'. Multiplions les termes de la série
qui est évidemment convergente, par les expressions
dans lesquelles a|, a,, ..., désignent les modules de rtfj, a.,, ... Comme ces multiplicateurs tendent vers zéro et, par suite, n^stent finis, la série résultante sera convergente dans le cercle C et sur sa circonférence. Or cette série est précisémrnt la série des modules des termes de (13) ; donc la série (12) est convergente dans le même cercle que (11).
1265. La fonction f\z) définie par la série (11) a une dérivée pour toute va/eur de z comprise dans le cercle C de ronveryence de cette série,
11 s'ngit de prouver que, si le point z est intérieur au cercle C, le rapport de Taccroissement de/'(5)à h tend vers uni» limite indépendante de la loi suivant laquelle h tend V(M-s zéro, c'est-à-dire quelle que soit la route suivie par le point z -\- h pour venir se confondre avec le point :;.
On a
fiz) — a^ -^ a^z -]- a^z- + ... + a„^" -f ...,
et par suite
f\z -f h) — f{z) =: aji 4- .'. + a,i[nz'^-^h -(- ...) + •.•
Le point z -{- h étant suffisamment voisin du point 2, la série f[z + A) sera encore convergente, quand, à la place
FONCTIONS d'une VARIABLE IMAGINAIRE 271
de S, h, rt,., ..., on mettra leurs modules Z, H, A;,, ... On pourra alors, dans cette s6vni à termes positifs, supprimer les parenthèses et grouper les termes de telle façon qu'on voudra; par exemple, on pourra écrire
riz + h) — f[z) = h[a, + ... + r^a.z^^-' + ...) + h^[z))
d'où Ton déduit, en divisant par h et faisant tendre h vers zéro
\\m' ^ ^ ' '-^^ = a^ + ... + wa^z»- ' ...
Donc la fonction /(:;) a une dérivée/' {z) que Ton obtient on prenant les dérivées des divers termes de la série (H). Cette série est donc ime fonction analylique de z.
Uétiiiilion des fonctions e'% sinz, cos z
Z206. « Les conditions (10) sont les seules qui soient c< imposées aux fonctions imaginaires, et, pourvu qu'ell(»s « soient remplies, la définition reste entièrement arbitraire». « On conçoit cepimdant qu'une fonction imaginaire ne sainte troduira avantageusement dans les calculs que lorsqu'elle « sera réellement la généralisation de la fonction réelle de « même nom, à laquelle elle se réduit quand on suppose « y =0, et qu'elle partagera ses propriétés caractéristiques. i* Cette analogie, regardée a priori comme une condition « essentielle, est la base des définitions que nous allons « donner des fonctions les plus simples • . »
1267. Les fonctions e% sin^, coss, sont représentées lorsque z est réel, par les séries toujours convergentes
"'"^^î-rTTâ + rrTTTTTTs--' (*^)
cos.-=l-j£^ + ^-^£^^. (16)
« J. Bbhira.\d, loco citât o.
Lorsque z est imaginaire, ces séries sont aussi toujours convergentes; on les prend alors pour définition des fonctions ^% sin;:, cos5.
1° L'application du théorème fondamental (n° 265j sur la différentiation des séries entières donne
dz - *+î"^"l .2+ -
c'est-à-dire
dz
= e\ il 4')
et Ton obtient de la même façon
,-^,. d,^\xiz d , cos ^ . ^,
(^""^ dz =^Q^^^ dz ^ — ^^"^- (*^)
Ainsi les formules (14') (15') (16') sont les mêmes, que z soit réel ou imaginaire.
2'' On peut exprimer les fonctions circulaires en fonction des exponentielles. En effet, en changeant dans la relation (8) z en 22, en ayant égard à (9) et (10), on obtient la formule
e^^ = cosz -f- i sin^ ; (17)
puis, en la combinant par addition et soustraction avec celle que Ton trouve en changeant w en — z, on a les formules demandées
cos4r = '- , smx=: ^^ ; (18)
3° La propriété fondamentale
e*.ey = e*+y (19)
de la fonction exponentielle s'étend au cas où x et y sont imaginaires.
En effet, si Ton applique aux deux séries absolument
ysr5r^
FONCTIONS d'une VARIABLE IMAGINAIRE 273
convergentes
la règle du n° 259, on voit, pour un calcul très simple, que le produit e^. e'-^ s'exprime par une série dont le terme général est
ce qui justifie la formule (19).
4** Les formules fondamentales de la trigonométrie
sin^x + cos*^z = 1, (20)
cos(ir -\- y) = cosûc cosy — sino? siny, (21)
sin {x -^ y) =: sina; cosy + cosa: siny, (22)
s'appliquent aussi lorsque x ety sont imaginaires.
La première (20) s'obtient immédiatement en multipliant membre à membre la relation (17) et celle qu'on en déduit en y changeant 2 en — 5.
Pour obtenir les relations (21) et (22), on multipliera membre à membre les formules
e'* = coso? -|- ï sina7, e^^ = cosy + * sin y,
ce qui donne
CCS («^t? + y) + i sin(u? -^ y) =z (coso? cosy — sinx sin y)
-|- (coSiT sin y + cosy sin a;) i,
et par suite en changeant x en — x et // en — //
cos (x -|- y) — î sin (x -f- y) = (coso? cosy — sin a? sin y)
— (cos a; sin y + cosy sin.r) i.
II suffit maintenant de combiner ces deux relations, par addition et par soustraction, pour obtenir (21) et (22). 5** Enfin on peut facilement mettre les expressions
e^ + 'y, sin (a- + /y), cos (or -f- /y),
CALCUL INFIKITÉSIMAL. 18
SOUS la forme P + Q v/ — i, x el y étant supposés réels. La chose est immédiate pour la première expression, car
on a
^x + iy -- gx ^ ^it/ -- 6*(cos.v -j- î sïny).
Considérons maintenant les deux autres : on a
cos (x -f- yi) = cos a? cos t/i — sin œ sin yi, sin {x -f- yi) = sin a? cos yi -[- cos a; sin yi ;
les formules (18) donnent donc
cos 3/1= j sm3/2 = Y^ — = i
, , ., ei^ 4- e-y , ey — e-y . cos (a? + yi) = cos^ ^ sma? i?
. , , . . ey + e-y . ey — e-y . sm(,r -|- yi) = sma? ^ |-cosa? i.
^68. Les autres fonctions circulaires directes, s'exprimant à l'aide du sinus et du cosinus, sont définies par ces expressions. C'est ainsi que la relation
sin -3'
tanff^ == »
^ cos-s-
qui a été démontrée pour z réel, sert de définition à tgr, quand z est imaginaire.
Logarithmes et fonctions circulaires invei*ses
d'une variable imaginaire
2269. Lorsqu'on a
on (lit que ii est le logarithme (népérien) de z, et Ion écrit
•«=logx (24)
FONCTIONS d'une VARIABLE IMAGINAIRE 275
Si Ton pose
z := r(cosa -f- i sina) = re*'*, (25)
il est aisé de mettre log z sous la forme p -\- qi. En effet, on doit avoir, d'après la relation (23),
re*' = eP^'^^ = eP . e^';
d'où Ton déduit
eP =zr, gr = a 4- 2At, (26)
k étant un nombre entier arbitraire.
Or il existe une seule valeur réelle de p satisfaisant à la première des relations (26); c'est le logarithme népérien arithmétique du module r; nous la désignerons par log r, et nous aurons
log-^ — log' r + i (a + 2A7r). (27)
Ainsi le logarithme d'une quantité imaginaire z a une infinité de valeurs qui ont toutes la même partie réelle log'r, tandis que le coefficient de i est l'argument a de :; augmenté ou diminué d'un multiple entier de 2z.
âTO. On peut vérifier que
d log^ 1
dz z
271. Enfin, de la relation ^" . e^ =e"+% on déduit la propriété fondamentale des logarithmes
log(wi?) = log M + logw.
â7â« Les fonctions inverses
arc sin ^, arc cos z, arc tang z se ramènent aisément aux logarithmes.
En prenant les logarithmes des deux membres de la relation
e^^ = ces X -{- i sin a:,
on obtient
ix =. log(cosa? -f- i sin a?), (28)
si donc on pose
sin a; = z^ cosx = yl — ^^^y ^ = arc sin^,
on trouve
sin 5^ = - log(\/i — jz^ -{- iz).
arc . .,,^
Celte formule montre que, si z est donné, rexprossion
VI — s^ + iz a deux valeurs, à cause du double signe dont le radical est susceptible; de plus, à chacune de ces deux acceptions, correspondent encore une infinité de valeurs de arc sin s, vu Tinfinité des valeurs du logarithme.
