FONCTIONS D UNE VARIABLE IMAGINAIRE
on trouve
1 , i 4- iz î , 1 — iz arc tang . = ^. log ^-^^ = ^ log j^pr; ;
à chaque valeur di» z correspondeat une infinité de valeurs du logarithme, et, par suite, une infinité de déterminations de la fonction inverse arctg z.
Remarquons enfin que, tandis que les fonctions circulaires directes s'expriment au moyen des exponentielles, les fonctions circulaires inverses s'expriment h l'aide des logarithmes. Donc, comme le logarithme est la fonction inverse de Texponentielle, on voit qu'on peut tout ramener aux exponentielles.
'o. Nous devons encore dire un mot sur la définition de II*' lorsque ii et v sont des quantités imaginaires.
Lorsque ii et v sont réels et que u est positif, on a l'identité
On prend cette identité pour définition, quand u et v sont imaginaires.
D'après cela, u"" a une infinité de valeurs, puisqu'il en est ainsi du logarithme. Ces valeurs peuvent ne pas être toutes distinctes. En supposant par exemple que v soit une
fraction réelle irréductible^» on aura
uf = ef == e*f ,
d'où Ton voit qu41 suffit d'attribuer g valeurs entières con-
sécutives à k pour obtenir toutes les valeurs de w^. Ces déterminations sont en général distinctes et ne peuvent s'échanger entre elles que si la variable dont u dépend lui fait acquérir des valeurs égales, infinies ou indéterminées.
Rappel de notions élémentaires
dST6. Si les variables qui figurent dans une équation désignent des grandeurs géométriques, cette équation prend, suivant les cas, diverses significations dont nous allons indiquer les principales, en nous bornant dans ce chapitre au cas de deux variables.
2T7. Coordonnées rectilignes. — Soient x, y, les coordonnées dun point M par rapport à deux axes O^r, Oy; le lieu des points dont les coordonnées satisfont à Téquation
nco. y) = o (1)
est une courbe plane dont cette relation est dite Véquation en coordonnées cartésiennes ou reclilignes. Par exemple
y = mx -}- n
est Téquation d'une droite, et Ton sait que m est le coefficient angulaire de la droite, et n t ordonnée à T origine,
278, Coordonnées polaires. — Soient p et a> le rayon vecteur OM et l'angle a:OM ; le lieu des points dont ces deux
nouvelles coordonnées satisfont à l'équation
est une courbe plane dont cette relation est dite f équation en coordonnées polaires. Par exemple, l'équation
p» = a sin no) (3)
représente
si n 1= 1, un cercle;
si n = — 1, une droite ;
si w z= 2, une lemniscatc ;
si n = — 2, une hyperbole équilatère;
si n = -> une cardioïde ; si n = — -> une parabole.
Les formules (H) du n** 104 permettent, étant connue l'équation d'une courbe en coordonnées cartésiennes, d'obtenir l'équation de la même courbe en coordonnées cartésiennes. Il suffit pour cela de remplacer dans l'équation donnée :r et y par les expressions
a?=pcoS(o, y = psin(o. (4)
Inversement, on passera de l'équation (2) à l'équation cartésienne en posant
p = slx^ + y^ J
cos(o = -> sm(o==- (' ^'
2T9. Coordonnées TANGENTiELLEs. — Soient u et î^ les inverses des segments interceptés par une droite sur les axesOa: et 0//, de manière que
ux -^ vy — 1 = 0 (6)
soit l'équation de cette droite ; w et r pourront être dites les
coordonnées de cette droite et toute relation de la forme
^{ti,v)=o (7)
définit un ensemble de droites dont les coordonnées vérifient cette équation. Nous démontrerons plus loin que ces droites sont toutes tangentes à une môme courbe (C) ; Téquation (7) est dite Téquation tangent ielle de cette courbe.
Dans des cas particuliers, (C) peut se réduire à des points; ainsi Téquation
au -{- bv — 1 = 0 (8)
définit évidemmenl toutes les droites passant par le point M qui a pour coordonnées cartésiennes
L'équation (8) est Véqtiation du point M
Nous donnerons plus loin le moyen de passet de Téquation cartésienne d*une courbe à son équation tangentielle et inversement ^voir n° 358).
âSp. Coordonnées homogènes. — Il est souvent commode do considérer, au lieu des équations (1) et (7), dos équations homogènes. Voici comment on y parvient : posons, soit dans Téquation (1)
soit dans l'équation (7),
ces équations deviennent
el on les nomme respectivement équation cartésienne homogène ou équation tangentielle homogène des courbes correspondantes. Le principal avantage de cette nouvelle conception est d'obtenir tous les points ou toutes les droites d'un plan, même à Tinfini, par des valeurs finies des variables. La seule restriction à laquelle sont soumises ces coordonnées homogènes, c'est de ne pas pouvoir être nulles toutes les trois en même temps.
En coordonnées cartésiennes homogènes, z = o sera une coordonnée d'un point rejeté k l'infini dans la direction
En coordonnées tangentioUes, une droite rejetée h. l'infini aura pour coordonnées U = o, V = o, W n'étant pas nulle.
Il est à peine utile de faire remarquer qu'on pourra toujours revenir de Téquation homogène à l'équation ordinaire, en faisant soit Z = 1 , soit W = 1 .
Exemple, — Exprimer que l'équation
AU» + A'V» -f A"W^ + 2B"UV + 2B'UW + 2BVW = o,
qui est celle des coniques, représente une parabole.
La parabole ayant une tangente à l'infini, il suffit d'écrire que cotte équation est vérifiée lorsqu'on y fait U = o, V ^ o ; la réponse est donc
. Quel que soit le système de coordonnées employé, les deux variables qui définissent la courbe peuvent toujours être considérées comme exprimées en fonction d'un paramètre. Ainsi l'équation (1) sera remplacée par les deux équatioi)s
entre lesquelles il suffirait d'éliminer t pour retrouver Téquation (1). Il est évident qu'on peut toujours prendre pour
paramètre Tune des deux variables; on revient alors au point de vue primitif.
Différentielle de l'arc de courbe^
éàSSt. Nous reviendrons d'abord sur la notion de longueur dans les lignes courbes. Nous n'envisagerons que celles pour lesquelles les deux coordonnées d'un point s'expriment par des fonctions d'un même paramètre, qui admettent des dérivées continues et non nulles en même temps, ou du moins nous n'envisagerons que les portions de courbes, dans lesquelles cette hypothèse peut être faite, c'est-à-dire que nous exclurons les points singuliers.
Soient
les deux équations qui définissent la courbe, t^ et Tq les valeurs du paramètre auxquelles correspondent les points A et B (To > /y). Soient ^j, />, Z^, ..., Z^, /: valeurs intermédiaires entre t^Qi Tq, et soient Aj, Ag, ..., Ajt, les points correspondants; le polygone AA|Ao...AfcB aura pour longueur
i étant un quelconque des nombres /q, /^, ..., Z^. Nous appellerons longueur de Varc AB la limite de L lorsque les côtés du poligone tondent vers zéro. Mais, pour que cette définition soit bonne, il faut démontrer que la longueur définie reste la même, quel que soit le mode d'interpolation des valeurs /j, /o, ..., tu* A cet effet, intercalons dans chacun des intervalles précédents de nouveaux points de division, et soient
e.|, 62 f •••1 *'fc'i
> Voir la note de la page 21.
les valeurs du paramètre correspondant à Tintervalle /,//+i; soient
les points correspondants, et
la longueur du polygone A...A,A\...AVAj+i...B. Il s'agit do prouver que
lim(L' — L) r=o.
Or le théorème des accroissements finis donne
^i + < — (Ci = (^,-4., — ti) f[Ti),
.y;Vi-î//=(VM-^')?'(ô;),
^ii *'fî ^y> ^Vï étant des valeurs du paramètre comprises entre /, et ^, + i. On aura donc
et, comme
^• on pourra aussi écrire
To
Donc
To
Mais les dérivées /' (/) et ^'{t) ont été supposées continues; il en est de môme de leurs carrés. Donc, d'une part, à condition de prendre t^.^ — /, inférieur à un nombre e suffisamment petit, on pourra rendre
^'î(o;)-.cp'Mr;)<a,
$ étant un nombre donné; d'autre part, le dénominateur sera aussi voisin que Ton voudra de la quantité
et par suite, supérieur à un nombre A, plus petit que le minimum de cette quantité, qui n'est pas nulle par hypothèse. On aura donc finalement
L'-L<S(/;+,-<j)J, ou
Donc
lim(I/ - L) = o.
Cela posé, soit une autre division arbitraire de l'intervalle /qTq, et soit U le polygone qui en résulte. Il suffit de supposer que L' contient tous les sommets de L", pour avoir aussi
lim(L'— L'0 = o.
Il en résulte
lim ([/ — L) = o,
ce qui est la proposition annoncée.
!3. On peut 4éduire de là la valeur principale de Tare infiniment petit, c'est-à-dire la différentielle ds de l'arc s. Il suffit pour cela de réduire le polygone L à un côté
AL = y/[r{t + M) - f{t)]^ + {f{C+ M) - ? W]^
et Ton aura, d'après ce qui précède, r e
