A* — AL < ;.- A
e tendant vers zéro avec A/. A^ et AL ont donc môme valeur principale; donc, puisque la valeur principale de
f{t -h A/) — /(/) est /' (/) dt, et celle de ç (/ + A/) — 9' {t), ç' {t) dt^ on aura
En particulier, si / = or
ou
ds^ 1= dj:> + r^y', (10)
ce qui s'exprime en disant que Tare et la corde ont môme valeur principale.
^84. Si la courbe présente un point singulier M, soit / la valeur du paramètre qui donne ce point; on définira, d'après ce qui précède, la longueur de Tare [t + s, t^]^ et l'on fera tendre s vers zéro.
1285. On appelle courbes rectifiables celles pour lesquelles la longueur de Tare et les coordonnées s'expriment par des fonctions antérieurement connues d'un même paramètre, et le problème qui consiste à rechercher ces fonctions s'appelle rectification de F arc. Ainsi, au point où nous sommes arrivés (le cet ouvrage, l'ellipse ne peut être rectifiée parce qu'on ne connaît pas de fonction algébrique, trigonométrique ou logarithmique, qui ait pour différentielle la différentielle de l'arc d'ellipse
ds = - \/ —5 r- •
a V a^ — X* On étudiera dans le second volume de Touvrage de non-
velles fonctions, grâce auxquelles la rectification de Tellipse pourra être opérée.
'. Rectification de la cycloïde. — On appelle cycloide la courbe engendrée par un point donné d'une circonférence qui roule sans glisser sur une droite fixe indéfinie qu'on nomme base. On voit facilement que les coordonnées d'un point M en fonction de Tangle t dont aura tourné la circonférence sont données par les formules
\ X ^11 a{t — sin^), f 1/ = a(l — cos^),
dans lesquelles a désigne le rayon du cercle. On suppose
les axes rectangulaires et Ton prend pour axe des' a: la base
de la roulette et pour origine la position du point décrivant
au moment où il est sur {}x.
On en déduit
dx = a[\ — cost) cil,
di/ =z a sin tdt.
Donc
ds^ = 2a?{i — cosO dt'^
= 4^2 sin^l dl^, ds :=z 2a sin - dt.
FiG. 7.
on a donc pour l'arc, en intégrant,
s =z — 4a cos â + C.
A Torigine de Tare on a
d'où, on éliminant la constante,
s =: Aa li — CCS - J -= 8a sin^ - •
Pour obtenir la longueur d'une des branches de la cycloïde, il suffit de faire / = 2x, ce qui donne
s = Sa, Tangente et normale en coordonnées reetilignes
1287. Il a été démontré au n° 2 que le coefficient angulaire de la tangente à une courbe plane est égal à la dérivée de l'ordonnée prise par rapport à l'abscisse. L'équation de la tangente en un point {xq^ i/q) de la courbe sera donc
y — yo = ^(^ — ^o).
ou
y — .vo ^ — ^0
1288. La normale en un point, c'est-à-dire la perpendiculaire à la tangente au point de contact, aura pour équation, si les coordonnées sont rectangulaires,
ou
[x — Xo) c/a?o + (y — y©) ^y© = o»
et, si les axes de coordonnées sont obliques et font un angle 6, (a? — a?o) [dx^ + dy^ cos 0) + (y — y^ [dy^ -f dx^ ces 6) = o. Exercice. — Démontrer que, dans la chaînette,
la projection de Tordonnée sur la normale est constante.
289. Théorème. — Sur un arc de courbe, il existe en général un point au moins, où la tangente est parallèle à la corde de Parc,
Soient en effet x, y = / [x] ^èX x -\- h^ y -\- k =: f [x -\- h), les coordonnées des extrémités de l'arc; le coefficient angulaire de la corde sera
or si, le long de Tare, on peut appliquer à la fonction f [x)^ le théorème des accroissements finis, on aura
et par suite le coefficient angulaire de la corde pourra s'écrire
c'est-à-dire qu'il sera égal à une des valeurs que prend, en vertu de l'hypothèse sur la continuité de/'(^), la- dérivée f [x] entre les valeurs extrêmes f [x] qï f (x + A).
I200. Exemple. — L'équation de la tangente à la cycloïde au |)oint M s'obtient immédiatement en prenant les valeurs de dx, dy, trouvées à la page précédente
y — ail — cosO = 1 . X — au — sm^ .
^ ^ ^ 1 — cos / ' ^
On voit que cette droite passe par le point
X = aty y =z 2a;
c'est le point P le plus haut de la circonférence roulante qui |)asse par le point M. La tangente est donc MP. En particulier au point 0, la tangente est Oy. La forme de la courbe en résulte immédiatement.
La normale, qui a pour équation
[x — rt (/ — sin t)] {i — CCS t) 4* sin / [y — a (1 — ces t)] = o,
passe au point {x = a/, y = o), où la circonférence touche Taxe des x.
Autres formes des équations de la tangente
291 • Dans le cas où la courbe est donnée par Téquation (1 ) , le théorème relatif aux fonctions implicites (n* 92) permet d'écrire
Téquation de la tangente sera donc
(^ - ^o) rio + (y - yo) n, = o ; (il)
celle de la normale sera
^ — '^0 y — .Vo
'^0 fyo
si les coordonnées sont rectangulaires, ou si les coordonnées sont obliques,
L'équation (H) peut s'écrire
Introduisons maintenant les coordonnées homogènes, et soit
l'équation de la courbe donnée. Le point Xq, yo» ^^ ^^ courbe peut être considéré comme ayant pour coordonnées
CALCUL I!VFIXITÉ8I9IAL. 19
homogènes une valeur constante quelconque, Zq pour Z, et pour ses autres coordonnées
de telle sorte que
et l'équation de la tangente peut s'écrire, d après (12) ^Fx +ÏFy -T^Fx -T^F^ =^o;
or le théorème des fonctions homogènes, n"" 184, nous a appris que, en appelant m le degré d'homogénéité de
^oK, + YoF^^ + ZoF^ = mF(Xo, Y^, Z,) = o (13)
le second membre étant nul, parce que le point Xq, Y^, Zy, est sur la courbe.
On tire de là
Zo *o^Z/^o- ^V
et Téquation de la tangente devient
T Fx +7 F; + F,' = o,
ou enfin
XF^ + VF^^ + ZF; = o. (44)
ti9ti. Exemple. — La courbe y =^ x tang - a pour équa-
tiou en coordonnées homogènes Y = X tang-r ; sa tangente
COURBES PLANES 29i
au point Xo, Yq, Zq, aura donc pour équation
X /tang^ - '^^ y \ - Y -h — ^ = 0. I ^« Xocos^gi cos^^
293. Si l'on exprime que la droite précédente (14) passe en un point P donné (a, ^, y), on trouve Téquation
qui exprime que le point de contact d'une tangente issue du point P se trouve sur la courbe
«Fx + PF^ + tF,' = o. (15)
Dans les cas où la courbe donnée est algébrique de degré 7/2, Féquation précédente représente une courbe de degré m — 1, qu'on appelle la première polaire du point P. Elle coupe la courbe donnée en m[m — 1) points, qui sont les points de contact des tangentes menées par P à la courbe donnée, d'où ce théorème :
Les points de contact des tangentes issues d^un point à une courbe algébrique de degré m sont sur une courbe algébrique de degré m — 1 .
Et comme la coordonnée y de P peut être nulle, on voit que
Les points de contact des tangentes menées à une courbe algébrique^ d ordre m^ parallèlement à une direction dotmie, sont sur une courbe algébrique d'ordre m [m — 1).
294. Dans le cas particulier où m = 2, les dérivées qui figurent dans Téquation sont aussi du premier degré ; cette équation représente la polaire, ou la corde de contact des tangentes issues de P à la conique. Le lecteur vérifiera sans peine que, dans ce cas, Téquation de la tangente peut aussi s'écrire
Points singuliers
295. Tout ce qui a été dit dans les n" 291 et suivants suppose essentiellement que la tangente au point M de la courbe soit unique et bien déterminée. Dans ce cas, le point M est dit simple ou ordinaire. Or cela ne saurait être si Ton a en même temps
ou, en employant les coordonnées homogènes,
Fxo(Xo,Yo,Zo) = o, F^^(Xo,Yo,Zo)=o, F^^JX^, Y„Z;)=-o.(18)
Dans ce cas, les équations (H) et (14) deviennent indéterminées, et le point M est dit point singulier. Il faut alors refaire la théorie.
:296. Soit donc
l'équation de la courbe, et supposons que toutes les dérivées partielles, jusqu'à Tordre p — ' 1, soient nulles pour a: = jtq, y = y^, et que celles de Tordre p ne soient pas toutes nulles, comme Texprime le tableau suivant
/*Ki I/o) == Oi
fxo (^0» I/o) = o, /"^o (^01 yo) = o^
/Ici ("^«^ yo) = o, r'^^^^ {x, yo) = o» Cl K» yo) == o,
^4 -V(^o. yo) = o, f^j;-j,i^^ {X,, ,y«), . . . , /<;-j/ {x^, yo) = o ;
alors le point M (xq, ^q) sera dit un point multiple {Tordre p. Cela posé, soit
y - yo — ^(^• — ^o)» (*7)
l'équation d'une sécante passant en M. Ses points de rencontre avec la courbe seront donnés par l'équation précédente et par l'équation (1); en éliminant y, on aura Téqnation aux abscisses
Posons
l'équation précédente devient
ri^'o + h, yQ + k)=o,
Nous supposerons que la fonction remplit les conditions requises pour appliquer le théorème de Taylor, n° 176; en remarquant que toutes les dérivées, jusqu'à Tordre p exclusivement, sont nulles, nous aurons
Ry est le reste de la série et est de degré /> -f 1 au moins par rapport à A et à A:. Remettons XA à la place de A:, dans l'équation précédente, on voit qu'elle donne p racines nulles pour A; donc la droite (17) rencontre la courbe enp points, confondus avec le point M. Après suppression de ces p racines nulles, Téquation (18) devient
~; \f'Ji (.-V yo) + pV1^-\ ('^0. ^o) + . . • 4 ■ ^'r'^W y oïl + a«; = o(i9)
pour que la sécante devienne tangente, il faut qu'un nouveau point de rencontre avec la courbe vienne en M, ou que l'équation (19) ait une nouvelle racine nulle, ce qui donne
ri (^0. I/o) + PV4-\iyo^ ^o) + - + ^V|(^o. I/o) - 0. (20) Cette équation en X est l'équation aux coefficients angulaires
des p tangentes à la courbe au point M, et Ton aurait Téquation de l'ensemble des p tangentes en éliminant X entre cette équation et Téquation (17) ; mais cette manière de parler suppose qu'il y a effectivement p branches de courbe passant en M. Nous aurons à examiner ce point de plus près; mais auparavant et pour n'avoir pas à faire une double étude, nous considérerons le cas particulier où le point M est rejeté à Tinfini.
Théorie des asymptotes
â97. Une courbe (C) est dite asymptote à une courbe (C), si la plus courte distance d'un point M de (G) à (C) tend vers zéro, lorsque M s'éloigne indéfiniment sur (G).
Les courbes étudiées le plus ordinairement comme asymptotes sont la droite, le cercle, la parabole. Nous ne nous occuperons, dans ce paragraphe, que des droites asymptotes, d'oiï Ton peut d'ailleurs, par des transformations connues, passer au cercle et à la parabole. Soit à déterminer une
Fu.. 8.
asymptote A de la courbe (G) ; par définition, la distance MP de M à A doit tendre vers zéro lorsque M s'éloigne à Tin fini sur la courbe, et l'on peut remarquer que la distance de M à la droite peut être comptée parallèlement à toute direction MQ, qui fait avec A un angle déterminé non nul. Si donc on cherche d'abord les asymptotes parallèles à Oy, on pourra compter la distance MQ parallèlement à Ox, et le problème sera ramené au suivant : chercher s'il existe des quantités finies a telles que, x étant l'abscisse du point M, la différence x — a
tende vers zéro lorsque y devient infinie, ou encore chercher les valeurs finies de x qui rendent y infinie. Au lieu
de rendre y infinie, on rend - nulle, et le problème est'
ramené à un problème d'algèbre bien connu.
Cherchons maintenant les asymptotes non parallèles à Oy ; la distance MQ sera prise ici parallèlement à Oy; si
Y = ca? 4- c/
est Téq nation de Tasymptote inconnue, et si y est lordonnée de M correspondant à la même abscisse que celle du point Q,
il faudra déterminer c et cf par la condition que // — Y ou
// — ex — d tende vers zéro en môme temps que — Dans
zéro, ce qui exige, comme rf est finie, que
les mômes conditions, l'expression ^^ — tend vers
c = lim^- (21)
Cette équation montre que les coefficienis angulaires des a.'iymptotes sont les mêmes qve ceux des droites qui joignent l'origine aux points M rejetés à Pin/ini.
Le coefficient angulaire c étant déterminé, on aura d par la même condition que y — ex — d tende vers zéro, c'està-dire que
d=z\im(y — c,v). (22)
