Par exemple, la distance d'un point M' d'une courbe

à la tangente au point M infiniment voisin est infiniment petite du second ordre, si l'on prend comme infiniment petit principal la distance des deux points de la courbe. On peut voir géométriquement que cette distance est, en tout cas, d'ordre supérieur au premier. En effet, soit MT la perpendiculaire abaissée de M', sur la tangente; dans le triangle MM'P, on a

M'P = MM' sin

KÎ^,

et comme le sinus est infiniment petit, le théorème est démontré.

Soit N le point d'intersection de MT et de MT'. Les deux angles en M et M' du triangle NMM' sont en général de même ordre, ainsi que l'angle TNT, qui est égal à leur somme. On verra bientôt que ce dernier angle est généralement du premier ordre; il en est de même de TMM', et M'P est du second ordre.

339. Il est essentiel d'insister sur ce que le point doit être ordinaire sur chacune des courbes. Ainsi, dans le voisinage de l'origine, pour la courbe

la dislance d'un point M de la courbe à la tangente en 0, c'est-à-dire à Taxe des j:, est représentée par l'ordonnée y. L'élément d'arc ds a pour différentielle \Jx- -\-y^ = yjx- -^ x^=z x^ en se bornant à la valeur principale ; or l'équation de la courbe donne

Donc la distance à la'tangente est d'ordre ^ etnon d'ordre 2.

Les démonstrations données au commencement du chapitre ne conviennent plus ici ; la formule de Taylor ne s'applique plus, la dérivée seconde de l'ordonnée étant infinie à Torigine.

ÎI40. Gomme application, cherchons les tangentes aux podaires. On sait qu'on appelle ainsi les courbes, lieux des projections orthogonales d'un point fixe 0 sur les tangentes à une courbe (G). Soient MT, MT', deux tangentes à la courbe (C), M, M', leurs points de contact, P, P', les projections de 0 sur ces tangentes. Il faut trouver la position limite de PP', lorsque M' tend vers M. Mais PP' est évidemment du premier ordre par rapport à MiM'. Soit MP" la parallèle à MT' menée par M, P" son point d'intersection avec OM'; P'P" est du second ordre, d'après ce qui précède, et il en est de même de l'angle P'PP". La position limite de PP" est donc l'a même que celle dePP'; c'est la tangente en P à la circonférence décrite sur OM comme diamètre.

Cercle osculateur

341. Proposons-nous de déterminer le cercle osculateur à une courbe définie par les équations

Soit

l'équation du cercle osculateur; les conditions (3), prises en nombre égal au nombre des inconnues a, g, R, seront ici, en écrivant .r, y, au lieu de/(^o)> ?(^o)» ^^ désignant les dérivées par des lettres accentuées,

(a?-a)a;' + (//-p).v' = o ) (iO) (.r - a) o^^ + (y ~ 8) y" + x^ + y' - o

La seconde de ces équations montre que te centre (a, g) du cercle se trouve sur la normale à la courbe^ en x et y^ et la troisihne^ que ce centre se trompe aussi sur la normale au point infiniment voisin.

On tire des équations (10)

x'y' — yx" \

xy — yx ^

Si X est pris comme variable indépendante, la dernièrt» formule s'écrit

2na

dx

Le centre du cercle osculateur s^appelle aussi centre de courbure; et Ton désigne souvent son rayon sous le nom de rayon de courbure. On verra bientôt la raison de ces dénominations, et nous admettrons provisoirement que les signes des seconds membres dans les formules (12) et (13) sont positifs.

Des développées

342. On appelle développée d'une courbe plane le lieu de ses centres de courbure. Voici quelques exemples importants.

343. Soit à chercher Téquation de la développée de la parabole

Prenons a: comme variable indépendante, et calculons y', y* :

dx '

En portant ces valeurs dans les formules (11), on obtient, pour les coordonnées du centre L de courbure.

En éliminant x^ y, entre ces deux équations et celle de la parabole, on trouve l'équation cherchée

Fio. 31.