Cherchons enfin la développée de la cycloïde
I X t:=^ a {i — sin/),
\ y z=z a{i — COS/),
on a successivement
a(i — cosf), a sin t ; a sîn t, a CCS /.
Portons ces valeurs dans les formules (H); les coordonnées du «entre N de courbure deviennent
se -\- ia sin / = a (^ + sin ^),
y — 2« (i — cos /) = — a{i — cos t).
Posons
flTT,
fJ =
La développée se trouve définie par les équations
X = « (T — sinT), Y = a (1 — cosT);
lîv\
FiG. 34.
c'est donc une cycloïde égale à la cycloïde proposée, et Ton voit aisément que MH = HN.
346. Théorème. — La développée (Tune cotirbe touche toutes les normales de la courbe au centre de courbure corres^ pondant.
348 CHAPITRE XVÎÎ
En effet différentioiis la deuxième équation (10) en y considérant x^ y, a, g comme des fonctions de /, et désignons toujours par des lettres accentuées les dérivées par rapport à t. Nous obtenons, en divisant par dty
{co - a) 07" + (y - p) / + {œ' - a') x' +. (y' - p')'/ = o, (i4)
et en retranchant cette équation de la troisième équation (10)
aV + py =: o. (15)
Cette équation exprime que la tangente au point M{x, y) de la courbe, dont Téquation est (n° 287)
Y — V X — or di/ dx
dû "di
est perpendiculaire k la tangente au point a, 3 de la développée, qui a pour équation
Y— p X— g d^ " dx ' dl dt
Comme on a déjà prouvé que le point a, 3 est situé sur la normale au point M, le théorème est démontré.
347. Théorème. — La longueur d'un arc quelconque de la développée d'une courbe plane est égale à la différence des rayons de courbure de la courbe donnée, qui aboutissent aux extrémités de l'arc de la développée.
En effet la combinaison de la deuxième équation (10), avec la dérivée de la première équation (10), fournit l'équation
a'(a;^a) + p'(y-p)=-RR'. (16)
. L'élimination de x' et de g' entre les deux équations (15) et (10), où ces quantités figurent d'une manière homogène,
conduit à l'équation
Élevons les équations ^16) et (17) au carré, ajoutons-les, et tenons compte de la première équation (10) ; il vient
Or soit (j la longueur d'un arc de développée, compté à partir d'une origine arbitraire ; on aura (n** 283)
\dt) ■" \dt) '^[dt) '
ou
Si R' n'e s'annule pas, on peut fixer un signe (qui dépend du sens dans lequel on compte les arcs croissants) et écrire par exemple
— -R' dt
D'où
(X — (j^ zz: R — R^.
Celte dernière égalité démontre le théorème énoncé.
Remarql'k. — Si le rayon de courbure est constant, l'arc de développée est nul et se réduit à un point. La circonférence est donc la seule courbe dont le rayon de courbure soit constant.
îi49. Le théorème précédent explique le nom de développée, donné au lieu des centres de courbure. Enroulons en effet un fil sur la développée, de manière qu'un de ses points soit fixé en C, et tendons-le de manière qu'il se détache
de ia courbe en Gq, par exemple ; il a à ce moment un point en Mq, et sa longueur est
MoC<>-f areC^C,.
Fifl. 3o.
Développons le fil : je dis que son point M^ décrira la courbe proposée. En effet, lorsque son point de contact est en C, on a, d après ce qui précède, et en appelant M le point où le fil tendu coupe la courbe,
MC — MoQ t= arc C„C, — arc CC,, ou
MC + arc CC< = M^Cv, -f- arc CgC^ ;
la longueur totale du fil n'a pas changé.
La courbe lieu de M prend, par rapport à l'autre, le nom de développante. Ce qui précède fournit le moyen mécanique de tracer les développantes d'une courbe quelconque ; géométriquement, ce sont les trajectoires orthogonales des tangentes à cette courbe.
Des enveloppes
;$50. Lorsque, dans l'équation d'une courbe, ligure un paramètre susceptible de recevoir une infinité de valeurs, toutes les courbes obtenues en faisant varier le paramètre
constituent une famille de courbes. Ainsi Inéquation
où X désigne un paramètre variable, représente la famille (les droites qui passent par le point commun aux droites
ax -\- hy -^^ c =: o^ ax -f h'y -|- c' = o. (19)
De même Téquation
y =^ ma- + R yjm^ + 1 , (20)
où m désigne un paramètre variable, représente la famille des tangentes au cercle dont l'équation est
