Voici quelques exemples simples

1** Soit proposé de calculer la dérivée de j:™, l'exposant m étant supposé entier et positif.

La formule du binôme

donne :

La dérivée de .r"' est donc égale à la limite du second membre, lorsque h tend vers zéro, c'est-à-dire à

mx'"-*. (3)

2* Cherchons la dérivée d'une somme. Soit la somme

F {X) = V, [x] + V^,{x) + ... + F„ (x) = ^Fm(x). On a ici

F(x + h)— F{x) Y F^ [x + A) ~ Fk i^)

et à la limite, lorsque h tend vers zéro,

V{x) = SF'a- {œ) = Ff {x) + Fi (^) + ... + F,: [x].

Donc la dérivée (rime somme est égale à la somme des dérivées,

La démonstration suppose que chacune des fonctions F,(j'), V^ix),,,^ F„(x) qui composent la somme F(,/) ait une dérivée déterminée pour la valeur de x que Ton considère. Mais le théorème le suppose aussi ; son énoncé serait vide de sens dans le cas contraire ; il est donc inutile de l'alourdir en y introduisant cette restriction.

3" La dérivée d'une constante C est mdle^ puisque le numérateur du rapport (1) est alors égal à zéro quel que soit h.

32 CHAPITRE m

Il suit de là que la dérivée de C + ç (r) est 9' (x) ; en d'autres termes, les constantes adcUtives disparaissent dans la dérivation.

Au contraire, les facteurs constants subsistent; en d'autres termes, la dérivée de C^ [x) est C^' (x) ; car ici la constante C se trouve facteur commun dans les deux termes f[x-\- h) et f{x) du numérateur du rapport (1);

4® Enfm il résulte de ces observations et de la règle relative à la dérivée d'une somme, que la dérivée d'un polynôme entier

kx^ + &»"•-< -f. Gr"»-» + ... + Ha? + K

est

mAa;"*-^ + [m - 1) Ba?'" -« + (w — 2) Ca?'« -'+... + H

On voit qu'on l'obtient en multipliant chaque terme par Vexposant de x et diminuant cet exposant d\ine unité.

Cas d'exception

34. Le rapport (1), lorsque h tend vers zéro, peut, pour certaines valeurs de x, devenir infini, ou ne tendre vers aucune limite, ou enfin admettre des limites différentes suivant que h tend vers zéro par des valeurs positives ou par des valeurs négatives. On dit alors que la fonction / [x) n'a pas de dérivée déterminée pour ces valeurs exceptionnelles de x. Voici des exemples de ces divers cas :

1* Soit proposé de trouver la dérivée de / {x) = V^r — 2

pour z == 2, y^ désignant ici la racine cubique arithmétique. On a alors

et le rapport (1) a pour expression :