AX

352 CHAPITRE XVH

Si ron fait tendre *AX vers zéro, cette dernière équation deviendra

^li^^ = o, (25)

et les solutions communes aux équations (22) et (25) seront les coordonnées des points caractéristiques M, M', ...

Sur chaque courbe de la famille représentée par l'équation (22), il y a donc un ou plusieurs points caractéristiques,

et Téquation

du lieu de tous ces points s'obtiendra en éliminant le paramètre A entre les relations (22) et (25). On donne à ce lieu le nom A' enveloppe des courbes (22), lesquelles reçoivent la dénomination d'enveloppées.

Il est essentiel de remarquer que ce lieu peut ne pas exister, ce qui arrive si a figure au premier degré dans Téquation (22). Cette équation prend alors la forme

P + XQ = o, ' (22')

P et Q étant deux fonctions données dV et d'y. L'équation (25) se réduit à

et les points caractéristiques sont donnés par les deux équations

Ils sont fixes et non mobiles. On peut encore, si Ion veut, considérer, par extension, l'ensemble de ces points, comme Venrrioppe des courbes de la famille 1^22), ou réserver cette dernière appellation pour le cas d(»s points caractéristiques mobiles.

;^52. xNous donnerons deux exemples d'enveloppes. Considérons d'abord Téquation

qui représente la parabole que décrirait un corps pesant lancé dans le vide, avec une vitesse constante, sous une inclinaison variable dont la tangente trigonométrique est X. L'élimination de ce paramètre entre Téquation précédente

et sa dérivée \ — X - = o, donne pour l'enveloppe une autre

parabole

a?» -|- ^py — pa = o.

Ce problème, résolu par Jean Bernouilli (à la fin du XVI* siècle), est le premier exemple de la détermination de l'enveloppe d'une famille de courbes.

Le second exemple sera traité, par des considérations de géométrie pure.

Le sommet A d*un angle droit parcourt une courbe donnée (A); un des côtés de Tangle droit passe par un point fixe F. Trouver le point caractéristique sur Tautre côté AB, et le lieu de ce point (enveloppe de AB).

Appelons jx le point de rencontre de deux côtés successifs AB, A'B'; il s'agit de trouver la position limite de jx. Le milieu w de F[jl est sur la perpendiculaire élevée au milieu de AF, et sur la perpendiculaire au milieu de AA', puisque AA' est une corde du cercle décrit sur F^jl comme diamètre ; cette dernière perpendiculaire a pour position limite la normale en A à lacourbe (A), lorsque A' tend vers A. La position 0, limite de w, est donc au point p^j 35^ de rencontre de celte normale avec la perpendiculaire au milieu de AF; et la limite M du point ^ s'obtient en prolongeant FO jusqu'à son intersection avec AB. C'est le point caractéristique cherché. Le lieu du point 0 csl une courbe, dont tous les points sont a égale distance de F et de la courbe (A) ; donc le lieu des points caractéristiques M est une courbe, dont tous les points sont équidistants de F, et d'une courbe homothétique de (A) par rapport à F, le rapport d'homothétie étant égal à 2.

354 CHAPITRE JLYU

En particuli*^r« si la courbe A est ODe droite oa une circonférence, le lien obtenu est une parabole on nne eoniqne à centre ayant F pour foyer, et Ton Toit. dans ce cas. <pie les droites AB touchent la conique an point M : c'est nne propriété bien connue de la projection du foyer sur les tangentes.

3^3. La proposition que nous venons de Térifier sur un exemple est générale.

V enveloppe '26. e^it tangente à chacune des enreloppées, aux point$ caracténstiques.

En effet, remarquons d'abord que Fx, y est identique à la fonction /'x, y, >.), dans laquelle X est remplacée par sa valeur tirée de 25;, ce que nous indiquerons ainsi

F (^, y s /• X, y, A . il

Cela posé, soit jt,, y^, les coordonnées d'un des points carac. téristiques de ' C; ; la tangente à la courbe • C au [ oint jr,- //,, aura pour équation

x^ x^) ^ h (y — yi i 5- = o. v28j

La tangente à la courbe (26} au même point

ce qui peut s'écrire, en vertu de Tidentité (27) et en désignant par 'A| la valeur prise parX quand on y remplace les coordonnées courantes par x^, y^,

(a, — a: , f^ ^^. « .Vo >. ) ■ Y (^. ./. . ^.) ^h 1

'Y (a;,.;/,, ),) <Y(a;,,yi. ^i) ^l ^

Or, X étant déterminé par Téquation (25), on a identiquement

et Toquation (29) se réduit à

Mais le point x^^ y^, satisfaisant à l'équation (26), X^ est solution commune aux deux équations

c'est-à-dire qu'il a précisément pour valeur celle du paramètre qui détermine la courbe (C). Les deux équations (28) et (30) sont donc identiques, et les courbes (22) et (26), ayant môme tangente au point (.rj, y^), sont tangentes entre elles.

ÎJ54. Lorsque tontes les courbes d'une même famille passent par des points fixes, ces points fixes font partie de Venveloppe. En effet, s'il y a des points fixes communs à toutes les courbes de la famille, les coordonnées de ces points, satisfaisant à l'équation (22), quelle que soit la valeur de X, vérifieront l'équation (26), qui comprend tous les points pour lesquels les équations (22) et (25) ont une racine commune en X.

355. La développée dhine courbe est Venveloppe de ses normales. Supposons, en effet, que les coordonnées x, y d'un point d'une courbe soient exprimées en fonctions d'un paramètre /, et désignons toujours par des lettres accentuées les dérivées par rapport à t. L'équation de la normale au point r, y aura pour équation

L'enveloppe do la normale s'obtiendra en adjoignant à réquation précédente sa dérivée par rapport à i

et l'on retrouve ainsi les deux dernières équations (10). Le point caractéristique de la normale est donc le centre de courbure, et l'enveloppe des normales est la développée. C est, sous une autre forme, la remarque faite au moment où nous avons écrit les équations (10).

356. Il arrive souvent que Téquation de la courbe renferme n paramètres liés par n — 1 conditions. Voici comment, dans ce cas, on trouvera l'enveloppe :

Soit d'abord n = 2; l'équation de la courbe est alors

les paramètres u et r satisfaisant à la condition

On peut concevoir v comme une fonction de w, définie par réquation (32); Téquation (31) ne contient alors que le paramètre ff, et, pour avoir l'enveloppe, il faut à l'équation (31) adjoindre la suivante

ov. ov au '

(Iv Mais -r- est donné par la dérivée de l'équation (32)

(itf ^v du ' ^ ^

' (iv

Eliminons -7- entre les deux dernières équations, il vient

^Jl^h. (33)

L'enveloppe s'obtiendra en éliminant u et ?' entre les équations (31), (32) et (35).

•J57. On opère de même pour n > 2. Soit, par exemple,

/•(a?, y, u, V, îo) = 0,

Téquation de la courbe, les trois paramèlros //, f\ u\ étant liés par les deux conditions

'l (if, V, w) = o,

Considérons toujours u comme le paramètre variable; aux équations précédentes il faudra joindre

dit ' Dt? 5S

!î + "2 „' + ilî «,' ^

du 7^v dw

eu Ov o^c

qui, par Télimination des dérivées v\ ic\ donnent

dio

da dto

dto

L'enveloppe s'obtiendra en éliminant t/, v, w, entre les équations (36), (37), (38) et (39).

Passage de l'équation carlésienne à l'équation tangentieiie

«{58. Cherchons Tenveloppe de la droite

UX + t?y — 1 = o, ( M))

sachant que

(p(w, t?)=rO. (41)

Léqualion (35), qu'il faut adjoindre aux deux préc^^dentes , est ici

L*élimination de w, t% entre ces trois équations, conduira à Téquation de Tenveloppe

Cette dernière équation est l'équation cartésienne de la courbe dont (41) est Téquation tangentieiie (n° 279).

359. Ce qui précède donne le moyen de passer de l'équation tangentieiie d'une courbe à son équation cartésienne (43). Le problème inverse est aussi aisé à résoudre. Il suffit pour cela d'exprimer que la droite (40), en un de ses points d'intersection avec la courbe (43), est parallèle à la tangente en ce point, dont l'équation est

la condition de parallélisme esl

^m^^^ ^^^^ ^^HHHB ■

If V

Les coordonnées du point de contact satisfont aux équations (40), (43) et (44); en les éliminant, on retrouvera Téquation tangentielle (41).

On remarquera Tanalogie complète entre les deux calculs qui viennent d'être exposés.

On pîut simplifier ce calcul. Posons dans toutes les équations précédentes

puis effaçons les indices. Remarquons ensuite que, si Ton appelle m le degré d'homogénéité de /(x, y, s), on a identiquement

^n + yfy + ^n = w/*(^, y^ ^).

et par conséquent, si le point est sur la courbe,

T^Py y, ^) = o,

xn + yry^-^n-

Cela posé, lo système des deux équations (43) et (41-) peut être évidemment remplacé par le suivant

Ck^fk^CL. (45)

On verrait de môme que le système des équations (41) et (42) peut être remplacé par

£t = îii = Î-. (46)

360. Cherchons, par exemple, l'équation tangentielle des coniques

/(x,y,z)=A.7?' + Ay + .r^2^2B"a?y + 2B'3'a? -[-2Bj/3' = o, (47)

OU, ce qui revient au m(^me, la condition pour que la droite

ux -\- vy -{- wz =^ o

touche la conique (47).

D'après le paragraphe précédent, il faut éliminer x^ y, s, entre l'équation (48) et les deux suivantes

Aœ + B"j/ 4- B'z B"a? -f A ^ + B^ Wn + By + A"z

Si on égale la valeur commune de ces rapports à — X, et qu'on chasse les dénominateurs, on aura quatre équations homogènes entre lesquelles on éliminera x^ y, z et X; le résultat est

Cette équation est du deuxième degré en ?/, v, w.

361 . Nous avons dit, en terminant le chapitre précédent, que Téquation tangentielle d'une courbe est susceptible d'une explication ponctuelle. Nous sommes maintenant en mesure d'éclaircir ce point.

On sait que, si

est l'équation d'une conique (F), la droite

aFi + PF; 4- YFi = o

s'appelle la polaire du point a, g, y» par rapport à la conique. Si cette polaire reste tangente à une courbe donnée (C), son pôle décrit une courbe (C), qu'on appelle la polaire réciproque de (C) par rapport à (F), et réciproquement les tangentes de (C) ont leurs pôles sur (C) ; (C) est l'enveloppe des polaires des points de (C). Cela posé, prenons pour conique (F), le cercle

et soit

Féquation de la courbe (C), dont on veut chercher la polaire réciproque par rapport au cercle.

A cet effet, soit a, g, un point de (C), cVst-à-dire supposons

? (oc, ?) = o. (52)

Sa polaire aura pour équation

a.x; -f py — i — o, (53)

et nous avons à chercher l'enveloppe de cette droite. On sait qu'il faut adjoindre à ces deux équations la suivante

puis éliminer a, g, entre les trois dernières équations. On reconnaît le calcul qu'il a fallu faire pour passer de Téquation tangentielle (41) à l'équation ponctuelle (43). Donc si, dans Téquation (41), on considère te, v comme les coordonnées d'un point, cette équation représentera la polaire réciproque de (43), par rapport au cercle représenté par Téquation (50). Ainsi s'expliquent certains faits à apparence paradoxale, signalés dans le chapitre précédent. A un point multiple muni de /> tangentes, correspond, dans la polaire réciproque, une tangente multiple à/> points de contact. A un point d'inflexion où la tangente a trois points confondus, communs avec (C), correspond une tangente du point de contact (point de rebroussément) de laquelle on peut mener trois tangentes confondues à la polaire réciproque (C), et ainsi de suite.

Concavité et convexité

362. Soit M un point ordinaire d'une courbe, MT la tangente en ce point, M^, Mo, deux points très voisins de M sur

Fio. 37,

la courbe, et situés de part et d'autre de M. Ou dit que la courbe est concaoe vers les y positifs, dans le voisinage de M, lorsque tous les points de Tare M,MMi se trouvent, par

rapport à la tangente, dans la môme région que la parallèle à Oy menée du point M vers les y positifs. Dans le cas contraire, la courbe est concave vers les y négatifs, ou convexe vers les y positifs. Enfin, si des deux arcs MM,, MM^, l'un est au-dessus, Ta itre au-dessous de la tangente, le point M est dit point (Vinflexion .

Il est facile d'exprimer les conditions pour que telle ou telle forme se produise.

Supposons que, dans le voisinage du point M, Tordonnée de la courbe puisse être représentée on fonction de Tabscisse, par une série de Taylor

L'ordonnée de la tangente se tire de l'équation de la tangen te

La courbe sera concave vers les // positifs, si l'on a, de part et d'autre du point M,,

Soit f^{x), la première dérivée de y d'ordre supérieur au premier, qui ne s'annule pas pour x = Xq ; ou aura

Si p est pair, le premier facteur du deuxième membre sera positif, quel que soit le signe de j- — x^y Et comme/'' (.r) est supposée non nulle au point M et coatinue, le signe de

y — Y sera celui de f^^^ (xq), c'est-à-dire qu'on aura, vers les y positifs,

concavité si fP [x^ > o,

convexité si /''''(^o) < ^•

Au contraire, %\p est impair, y — Y change de signe avec X — j^o» ^^ ^^ courbe traverse sa tangente ; le point est un point d'inflexion. Par conséqueat, pour qu'il y ait inflexion, il est nécessaire que

mais l'analyse précédente montre que cette condition n'est pas suffisante.

363. Nous avons supposé, pour la facilité du raisonnement, l'ordonnée exprimée explicitement ^n fonction de l'abscisse. 11 importe de savoir écrire la condition (55), lorsque l'équation de la courbe se présente sous la forme

Il suffît, pour cela, de prendre deux fois de suite la dérivée par rapport h x^ puis d'éliminer y^ entre les deux équations ainsi obtenues, en faisant en même temps y* = o. On trouve

(F;)'-» F> - 2F;F;Fi,, + (Fi)» FJ» .= o. (56)

Telle est la condition nécessaire pour que la courbe traverse sa tangente au point M. Il est essentiel de remarquer que la méthode suivie pour arriver à cette équation a supposé F^ 7^ o, c'est-à-dire la tangente en M non parallèle à Oy. Cette restriction n'avait aucun inconvénient dans l'étude de la concavité vers les y positifs, puisque la question ne se pose pas dans le cas particulier d'une tangenle parallèle à 0//. Mais le problème de l'inflexion subsiste.

Remarquons d'abord que le problème de la concavité vers les abscisses positives se traiterait comme le précédent; ce

n'est qu'un changement de notations. Si maintenant on veut en déduire la recherche des points d'inflexion, on procédera comme ci-dessus, et la symétrie parfaite de Téquation (56), par 1 apport aux lettres x et y, prouve que Ton retombera sur la même équation ; (56) est donc Téquation à laquelle satisfont, dans tous les cas, les coordonnées des points d'inflexion.

De la Hessienne

«i64. Si, dans l'équation (56), on considère x et y comme des coordonnées courantes, elle représente une courbe qui passe par les points d'inflexion. On voit immédiatement qu'elle passe aussi parles points multiples, puisque les coordonnées de ces points annulent VI et F^. Le lecteur vérifiera aisément le théorème suivant : introduisons les coordonnées homogènes et appliquons le théorème d'Euleraux dérivées rendues homogènes de F(.r, y, s), c'est-à-dire remplaçons

(»w - 1) Fi

par

a^Fi» + y^y + ^F^,,

par

a'Fiy+.yFj, + ;ïFJs,

par

^Fi, + yP;, 4- «Fît.

Fi.

Fi=

Les points communs à la courbe proposée et à la courbe (56) se trouvent aussi sur la courbe qui a pour équation

Celte courbe s'appelle la Hessienne de la courbe proposée, et le déterminant du premier terme s'appelle le Hessien de la fonction homogène F(x, y, z).

Théorème. — La Hessienne est le lieu des points doubles des premières polaires.

On a vu (n** 293) que la première polaire d'un point a, g, 7, a pour équation

aFi -f- pf; + yFJ = o.

Les coordonnées d'un point double de cette polaire vérifieront, en môme temps que l'équation précédente, les deux suivantes, obtenues en prenant les dérivées par rapport à x et par rapport à y :

aFi2 + pF;^ + rF:j, = o,

En éliminant a, g, y» on trouve bien la Hessienne.

Voici encore deux propriétés de la Hessienne faciles k vérifier en prenant pour axes de coordonnées, dans le premier cas, les tangentes au point double; dans le second, la tangente au point de rebroussement et une droite quelconque passant par ce point :

En un point double de la courbe originaire^ la Hessienne a également un point double^ et les tangentes des deux courbes au point double sont précisément les mêmes.

En tin point de rebroussement de la courbe originaire^ la Hessienne a un point triple^ et deux de ses branches y touchent la tangente de rebroussement, tandis que la troisième a une tangente séparée.

Courbure

365. Nous avons vu, dans les paragraphes précédents, que les singularités d'une courbe ne sont pas les mêmes, suivant qu'on se place au point de vue ponctuel ou au point de vue tangentiel. La notion de courbure que nous avons maintenant à étudier constitue un lien entre les deux points de vue.

Démontrons d'abord que Fangle de deux tangentes infiniment voisines est généralement du même ordre que tare qui unit leurs points de contact.

Soit £ l'angle de deux tangentes, qui font avec ox respectivement les angles V et V + d\ ; on a

et £ s'appelle Vangle de contingence.

cto* . I (dy\*

tangV = £.

On déduit de là en différentiant

1 ,^ dxcPy — dy<Px

cos^ V dx^

,y dxd^y — dyd^x 1

Donc, enfin

dxd'^y — dyd^x

da? -f- dy'^

Soit t la variable indépendante

dx = x'dt^ d'^x =- x'dt'^^ dy = ydt, iC^y — y'dl^\

la formule précédente devient

e = "^y - ^y di. (59)

Or la différentielle de l'arc a pour valeur principale

ds = \/dr^ -f- dy-^ = yjx'^ + y'^ dt. ; 60)

Le théorème est donc démontré.

366. On appelle courbure le rapport des deux infiniment petits précédents, c'est-à-dire le rapport de l'angle de deux tangentes infiniment voisines à la différentielle de 1 arc. Nous désignerons cette quantité qui n'est, en général, ni nulle, ni infinie, par la lettre k.

Si X est prise comme variable indépendante, la formule devient

En comparant la formule (61) et la formule (12), on voit que la courbure est Tinverse du rayon du cercle osculateur ; ainsi se trouvent justifiés les noms de rayon de courbure et de centre de courbure, donnés au rayon et au centre du cercle osculateur. Une remarque est cependant essentielle : le signe de la courbure est parfaitement déterminé, au moins une fois Sxé le signe du radical dans la formule (60), c'està-dire ime fois qu*on a convenu de faire croître les arcs, soit dans le môme sens que la variable indépendante, soit en sens inverse. Au contraire, le signe du rayon de courbure n'a pas élé fixé dans les formules (12) et (13). Nous conviendrons d'appeler expressément rayon de courbure Tinverse de la courbure ; la valeur absolue de ce rayon est le rayon du cercle osculateur.

11 nous reste à montrer que le centre de courbure est du côté concave de la courbe. Les formules (10), qui nous ont servi à le déterminer, s'écrivent en y prenant ./• comme variable indépendante

et la dernière nous montre que // — g et -r^ sont de signes

contrai es. Or nous avons vu (u° 362) que, si t-'o ^st > o,

il y a concavité vers les // positifs, c'est-à-dire que la courbe est au-dessus de sa tangente ; mais y — g étant négatif, le

centre de courbure est plus haut que le poiat de contact , c'est-à-dire également au-dessus de la tangente. Môme con-

clusion si -rH est néeative : le cercle osculateur est du

même côté que la courbe par rapport à la tangente. La définition géométrique rendait cela évident.

(Pu 367. Soit -T% = o : le point est un point d'inflexion. Les

formules (63) montrent que, dans ce cas, y — g et j? — a

sont infinies, pourvu que-^ ne soit ni nulle, ni indéterminée.

Donc, en un point d'inflexion simple, la courbure est nulle et le rayon de courbure infini.

La corrélation que nous avons constatée, entre le point d'inflexion, qui est un point ordinaire à tangente singulière, et le point de rebroussement de première espèce qui est, en général, un point singulier à tangente ordinaire, nous amène à rechercher comment se comporte la courbure en un point de rebroussement.

Pour cela, reportons-nous à Télude que nous avons faite d'une courbe autour d'un point singulier (chapitre xvi, point de rebroussement et formule 45); nous avons vu que, dans ce cas, la courbe peul être assimilée, au voisinage de l'origine, avec la courbe

(// — Xa;)2 = i\la7'^+'",

m étant égal ou supérieur à l'unité et M étant une quantité finie. On pourra donc exprimer les deux coordonnées en fonction d'un paramètre, en posant

Ces deux expressions substituées dans les formules (10) donnent pour la deuxième, en divisant par t et faisant ensuite

/ = o, d'où ar = y = o,

a 4- Xp = o,

et, en tenant compte de cette équation, pour la troisième, divisée par f' :

Mp = 0.

On voit ainsi que le centre de courbure est aussi à l'origine : le rayon de courbure est mil et la courbure infinie en un point de rebroussement de première espèce. Comme, en

un point ordinaire, -j^ et Ç':, ont des valeurs finies, non

nulles, et bien déterminâmes, le rayon de courbure ne peut être nul qu'aux points de rebroussement.

Il en résulte que la développée d'une courbe passe par ses points de rcbroussements de première espèce.

368, Relation entre la colrbire d'une courbe et celle DE LA développée. — Lcs augles de contingence aux deux points correspondants sont évidemment égaux ; on aura donc, en conservant les notations ordinaires et appelant en outre p le rayon de courbure de la développée

ds îï

Gomme | rfu | = | rfR | , nous pourrons écrire

lpl =

Si le rayon de courbure passe par un maximum

donc

le point de la développée est un point de rebroussement de première espèce. C'est ce qu'on peut vérifier sur les exemples que nous avons traités ; aux sommets de Tellipse, de Thype rbole, de la parabole, de la cycloïde, correspondent des points de rebroussement de la développée et, de plus, pour cette dernière courbe, ses points de rebroussements sont bien sur sa développée.

369. Considérons, comme seconde application, la courbe qui a pour équation

Cette courbe, symétrique par rapport à Oj-, offre, à Torigine, un point de rebroussement et, iiTinfini, un point d'inQexion parabolique.

Posons, pour calculer les coordonnées a, 3 du centre de courbure et le rayon R de courbure,

On trouve sans peine

A Torigine, / = o, le rayon de courbure est bien nul ; au point d'inflexion à Tinfini, R = oo , ce qui est conforme aux prévisions.

370. Démontrons maintenant une formule élégante, relative au rayon de courbure et déjà obtenue autrement n** 105.

Appelons a Tangle que fait avec ox la tangente au point M, comptée dans le sens des arcs croissants. L'arc ,<? étant pris pour variable indépendante, et l'élément d'arc ds ayant

pour projection dx^ on a immédiatement

cosa =

sinx

dx ds dy

y^/yf ^

Fio. 38.

d'où, en différentiant,

sm aaa = -r-r ds

cos <xdx = -r~ ds, ds^

Elevons au carré et ajoutons, il vient

Or rfa est précisément Tangle de contingence dont la valeur

ds est, comme on sait, ^5 on a donc finalement

371. Différence entre un arc infiniment petit et sa corde. — Cette question est une application immédiate de la théorie de la courbure.

Si Ton prend Tare pour variable indépendante, la dernière formule du paragraphe 283 devient

1 = a?'2 -|. ys,

d'où en différentianl deux fois de suite

0 = x'x + yy ,

Cette dernière formule peut s'écrire, à cause de (65),

"^ + f^ = - {x'x'" + yY) = k\

Cela posé, la différence l entre Tare As et la corde, dont les extrémités sont aux points x, y et ar+ Aj-, y -\ t^y est

= A* — si^x^ + Ay*.

Or la formule de Taylor donne

Aa? = a?'cfe + s ^"d^ + s a?'"rf«3 ^ ...

Ay = /rf5 + 1 y"^" + \ y^d^^ + ••• ;

d'où, puisque ds = A.s,

Si Ton tient compte des égalités établies au début de ce paragraphe, et si on développe Taccolade suivant la formule du binôme généralisée, il vient, toutes réductions faites, pour valeur principale de 5,

Donc la différence entre un arc infiniment petit et sa corde est un infiniment petit du troisième ordre par rapport à Tare, et son rapport au cube de l'arc est égal au vingt-quatrienie du carré de la courbure.

3742* On démontrerait de même les formules suivantes* : La longueur (Tune tangente comprise entre le point de contact et la tangente infiniment voisine a pour valeur principale

La différence entre les longueurs des deux tangentes menées aux extrémités d'un arc infiniment petite et terminées à leur point de rencontre^ a pour valeur principale

k désignant y.

V angle de la corde et de la tangente a pour valeur principale

c'est la moitié de la valeur principale de Tangle de contingence.

La différence entre cette moitié et Tangle précédent a

pour valeur principale — k'ds'^.

Enfin la différence entre les angles que fait la corde de l'arc avec les tangentes à ses extrémités a pour valeur principale

I k'ds^.

Équation inirinsèque

373. Dans le calcul différentiel et intégral, les courbes interviennent surtout pour faciliter la conception ou

* Voir une note de M. Rouché, qui fait suite au Traité de Géométrie descnptioe d'OuvcER (3" édition).

l'énoncé des propriétés relatives aux fonctions de deux variables. Cependant, tant au point de vue mécanique qu'au point de vue géométrique, Tétude des fonnes de courbes a en soi tant d'intérêt que nous insisterons encore un peu sur ce sujet.

Un des premiers efforts des géomètres consiste h s'affranchir de la sujétion des systèmes spéciaux de coordcmnées, pour concentrer leur attention sur les propriétés qui ne tiennent pas h la situation de la courbe par rapport aux axes de référence. Il est naturel dans cet ordre d'idées, et c'est précisément ce que nous avons fait dans le paragi'aphe précédent, de considérer la longueur de l'arc comme la variable indépendante : si l'on connaît, pour chaque point, la courbure, la courbe pourra être construite. En effet, la connaissance de la courbure entraîne celle de l'angle de contingence. Or, si nous assimilons la courbe à un polygone inscrit de côtés égaux à ds, on pourra, en vertu du théorème démontré n"* 289, considérer le supplément de l'angle de deux côtés consécutifs, comme égal à l'angle de contingence en leur point de rencontre, et le polygone sera entièrement déterminé par la connaissance de ses côtés et de ses angles. On appelle équation iiitrinsèque de la courbe la relation entre le rayon de courbure et l'arc

374. Nous allons vérilîer que cette équation suffit pour déterminer la courbe.

En effet on en tirera d'abord

Puis, a étant langle de la tangente avec ox, nous avons vu que l'angle de contingence avait pour valeur

, ds

, ds Si donc 9 est la fonction déterminée de 5, qui a -^ pour

différentielle, on aura

Les coordonnées ar, // du point M se déduiront des formules (6i-)

ûfcc = ces %ds^ dy =. ^mdds.

Les seconds membres sont connus; on déterminera leurs intégrales X, Y, et Ton aura

y =^ + yo