Supposons, par exemple, que Téquation (66) se réduise à

a étant une. constante. La fonction 9 a pour valeur

lYoix

dx = ces û d$.

dy = sin ^ ds,

X = a sin (5 — j^), Y = — a cos (« — «„), a: — a?„ = fl sin (5 — jj^),

// — .y« = — tf cos(.v — 5o).

L'élimination de .v sV)btienl en ajoutant les deux dernières relations préalablement élevées au carré; le résultat

(^ — ^0)^ + fz/ — y^f — «^

montre que la circonférence est la seule courbe à courbure constante. Nous avions déjà, démontré ce théorème dans la théorie des développées.

Ordre, Classe, Genre des courbes algébriques

Formules de Plûcker

376. On appelle ordre d'une courbe plane le nombre total de ses points d'intersection avec une droite quelconque, ou encore le degré de son équation en coordonnées rectilignes. Ce nombre sera désigné par la lettre n.

On appelle classe d'une courbe plane le nombre total des tangentes que l'on peut mener k la courbe d'un point quelconque, ou encore le degré de son équation tangentielle. Ce nombre sera désigné par la lettre /:.

Nous introduirons encore les notations suivantes

ûf, nombre des points doubles, t^ nombre des tangentes doubles, r, nombre des points de rebroussement, %o^ nombre des points d'inilexion ;

et l'objet de l'étude actuelle est de trouver les relations entre ces différents nombres.

377. Nous commencerons par observer que nous n'avons pas introduit de multiplicités d'ordres supérieurs au second. C'est qu'on peut, à Taide des considérations suivantes,

toujours remplacer un point multiple d'ordre h par un certain nombre de points doubles : bornons -nous, pour faire comprendre la méthode, au point P^^. .jj triple. Il suffit de concevoir trois branches

de courbes passant dans le voisinage d'un même point o; elles déterminent, par leurs intersections mutuelles, trois points doubles. Si on les déforme de manière à les amener à passer en 0, le point triple ainsi

obtenu sera la réunion de trois points doubles. On verrait de môme qu'un point multiple d'ordre h peut ôtre considéré

comme absorbant—^ — - — -^points doubles.

378. Il a été établi (n° 293) que les points de contact des tangentes issues d'un point P à une courbe d'ordre n sont à l'intersection de cette courbe et de la première polaire de P, qui est du degré n — 1 ; ils sont par conséquent en général au nombre de n[n — 1). Il en résulterait Tégalité

si tous les points communs à la courbe et à la polaire de P étaient effectivement des points de contact de tangente issus de P. Mais on a déjà vu que les points doubles étaient aussi sur la première polaire, et, en faisant passer cette polaire dans le voisinage du point double, avant de la faire exactement passer à ce point, on voit qu'un point double absorbe deux intersections de la courbe et de la polaire.

Pour avoir les tangentes effectives issues de P, il faut

71 {fi —' 1 )

donc déjii diminuer V de 2d. Ce raisonnement suppose que la polaire passe au point double sans y avoir, avec la courbe, aucune tangente commune. Il faut donc chercher la tangente de la polaire au point double.

Nous prendrons ce point pour origine, et les deux tangentes au point double pour axes de coordonnées. La courbe a alors pour équation

et la polaire du point P(a, 3) (n° 293)

o = a^ 4" ?^ + termes du 2* degré au moins. La tangente, h l'origine,

ay + fia? zzi o,

forme, avec les axes et la droite OP, un faisceau harmonique. Elle est donc distincte des tangentes au point double. Cette conclusion, à son tour, se trouve en défaut, si les tangentes au point double sont confondues (point de rebroussement) ; alors la tangente à la polaire se confond avec la tangente au point de rebroussement. Soit dans ce cas, ox, la tangente, de rebroussement ; la courbe proposée aura pour équation

et la première polaire

0 = 2py -f- termes du 2* degré au moins.

Multipliant cette dernière équation par y, et la précédente par — 2g, on obtient, en ajoutant membre à membre, une courbe qui a un point triple h l'origine et qui a, avec la polaire, les mêmes points communs que cette dernière avec la courbe proposée. Or, en développant les calculs, on voit aisément que, dans le cas général, cette courbe n'est pas tangente k ox; ses trois branches en o coupent donc la polaire (qui, elle, touche ox) en trois points simples, et le point de rebroussement absorbe trois des points de rencontre de la courbe avec la première. Finalement, il reste pour la classe k d*une courbe d'ordre n

A rrzn (w ~ 1) — 2f/ — 3/-. (69)

•Î70. En considérant la polaire réciproque pour interpréter l'équation tangentielle, comme nous l'avons indiqué n° 361, on obtient immédiatement la formule corrélative

n — k{k — 1) — 2^ — 3îo, (70)