Des considérations analogue spermettent de relier le

/ nombre w des points d'inflexion à l'ordre et au nombre des

points doubles ou de rebroussement. Les points d'inflexion

sont h l'intersection de la courbe et de la hessienne (57) ;

COURBES PLATEES 379

comme cette dernière est du degré 2(n — 2), on aurait

s'il n'y avait pas de points singuliers.

Mais on a vu, n" 364, que les points doubles et de rebroussement de la courbe originaire sont aussi sur la hessienne, et on a donné les tangentes de la hessienne en ces points. 11 en résulte immédiatement deux conséquences : 1"* un point double absorbe six des points communs de la courbe et de la hessienne ; 2° en appliquant un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire dans la recherche de la classe et que, pour ce motif, nous nous dispenserons de reproduire, on voit qu'un point de rebroussement absorbe huit des points communs de la courbe et de la hessienne. Finalement la formule cherchée est donc

to = 3n (« — 2) — 6rf — 8r. (71 )

381. En considérant la polaire réciproque, on obtient la dernière formule

;. = sii (A- 2) — 6/ — 8 w. (72)

382. Les formules (69), (70), (71) et (72), sont appelées formules de Plucker, du nom de leur inventeur. Elles ne sont pas indépendantes. En ellet, la soustraction permet, appliquée au groupe (69), (71), ou au groupe (70), (72), d'écrire l'équation unique

qui peut remplacer (70) et (72). Il reste donc trois équations distinctes, qui permettrcmt de calculer trois quantités, connaissant les trois aulres. Comme application, cherchons les nombres de Plucker, pour une courbe d'ordre «, sans point double ni rebroussement. Les données sont /?, d == o, ;• == o ;

380 CHAPITRE XVn

et les résultats sont les suivants

k = n{n — 1), îc z= '3n{n — 2),

Les mêmes formules permettent aussi d'expliquer un paradoxe apparen!. Concevons une courbe, en apparence la plu s simple, c'est-à-dire sans singularités; onarf = r = / = M;=o, et les formules donnent les égalités

évidemment incompatibles, sauf si A* = n = 2. Mais il n'y a pas paradoxe, et il se trouve simplement démontré qu'il n'y a aucune ccmrbe d'ordre supérieur au second qui soit dépourvue de singularités.

Nous allons énumérer les diverses espèces de courbes que peut fournir le troisième ordre

Il n'y a jamais de tangente double, ce qui était évident, puisqu'une pareille droite aurait quatre points communs avec la cubique.