Les formules de Pliicker suggèrent une dernière

remarque. Les nombres qui sont dans les premiers membres

étant toujours positifs ou nuls, il en résulte que le nombre

d des points doubles ne peut jamais, en vertu de la for-

. /^^x w n{n — 1) . ^ n{n — 2) . ,, mule (69), dépasser ^» ni même -^^—^ ^j si 1 on se

reporte à la formule (71). Ces deux limites sont trop élevées, et nous allons démontrer que le nombre maximum des points doubles d'une courbe d'ordre n ne peut pas sur-

passer ^ ^- Il peut atteindre ce maximum,

comme on le voit, en prenant, par exemple, une cubique à point double.

En effet, on sait que, pour déterminer une courbe d'ordre n,

il faut se donner ^ ^ ^ points. Cela posé, nous allons,

montrer que, s'il y a plus de ^ -^ points doubles,

soit au moins

la courbe comprend une courbe d'ordre moindre, et par conséquent se décompose. A cet effet, déterminons une courbe d'ordre n — 1, en l'assujettissant à passer par d points doubles et par 2n — 3 autres points, pris sur la courbe proposée, soit en tout par

points. Les deux courbes se couperont en 2n — 3 + 2rf points, parce que les points doubles doivent être comptés pour deux dans l'intersection; cela fait

points communs, c'est-à-dire un de plus que le théorème de Bezont n'en permet à deux courbes d ordre n et n — 1, qui n'ont pas une infinité de points communs. La courbe d'ordre n doit donc se décomposer, ou n'avoir pas plus de

^ ^ ^ points doubles.

384. Genre d'une courbe. — On appelle genre d'une courbe, l'excès du nombre maximum de points doubles que comporte son ordre, sur le nombre de points doubles

qu'elle possède effectivement. Nous désignerons cet excès par la lettre/?.

Son introduction dans les formules de Plucker leur donne un aspect plus symétrique.

385. On appelle courbes unicursales, celles pour lesquelles les deux coordonnées rectilignes peuvent s'exprimer rationnellement en fonction d'un même paramètre.

Théorème. — Les courbes de genre zéro sont imicursales ou se décomposent.

En effet, par les points doubles de la courbe donnée (C), et par n — 3 autres points«iixes de (C), faisons passer une courbe (C) d'ordre n — 2, ce qui est toujours possible et d'une infinité de manières, puisque Ton n'a fixé que

points de la courbe d'ordre n — 2, c'est-à-dire un de moins qu'il n'est nécessaire pour déterminer la courbe. Les conditions qui expriment qu'une courbe passe par des points donnés étant linéaires par rapport aux coefficients inconnus de cette courbe, on aura

équations linéaires entre

coefficients qui permettront d'exprimer tous ces coefficients en fonctions linéaires d'un seul, et finalement l'équation

de (C) se présentera sous la forme

S 4- aS' = o, (75)

X étant un paramètre arbitraire, et S, S', des fonctions de degré n — 2, au plus.

Les courbes (C) et (C) se coupent en

n — :5 + 2rf = n — 3 + (n — 1) (« — 2) = nin — 2) — 1,

points fixes. Elles ont donc en plus un point commun, et Ton peut profiter de l'indétermination de X pour que ce dernier point commun soit un point quelconque de (C). Cherchons les coordonnées de ce point M. Des opérations, purement algébriques, permettront d'éliminer une des coordonnées, y par exemple, et l'on obtiendra ainsi une équation de degré n{n — 2) en ^; de cette équation, on connaîtra toutes les racines, sauf une, savoir les abscisses x^, Xo, ..., x^^ des points doubles, et celles x[, x'^, ..., x,i j des points fixes donnés. Donc, en divisant le premier membre de Téquation par

[x — x^Y [x — x.^f ... [x — XdY [x — x[) ... [x — ^li-z)^

il restera une équation du premier degré en .r, qui fera connaître Tabscisse du point M, en fonction rationnelle de a. On aura de même l'ordonnée, ce qui démontre le théorème. On pourrait craindre que le dernier point commun, laissé indéterminé entre (C) et (C), ne fût fixe lui-même; mais, dans ce cas, l'indétermination de X permettrait de faire passer (C) encore par un point de (C). Les deux courbes auraient alors

points communs, et auraient une courbe plane commune; (C) se décomposerait.

386. Réciproqnefhent, toute courbe unicursale a son maximum de points doubles, c'est-à-dire est de genre zéro.

Supposons, en effet, que les coordonnées s'expriment rationnel lenieilt en fonctions d'un paramètre / par les formules

^ - lil^, ,. - M) (76)

dans lesquelles une, au moins, des fonctions 0, 8j, Oj, est de degré /?, et où Ton peut évidemment supposer les fractions irréductibles.

D'abord la courbe est bien de degré /*, car ses points de rencontre avec une droite quelconque

ux -^^ vy '\- io =. o sont donnés par Téquation de degré n

Il ^^{t) + r 62(^)-f-M?e(/) =0.

L'équation de la courbe s'obtiendra en éliminant / entre les deux équations (76); ce sera

F{x,tj) = o, (77)

et l'on sait que, en général, si cette équation résultante est vérifiée par un système de valeurs Xq^ y^^ les équations (76) ont une et une seule racine commune. Donc, à tout point de la courbe (77), correspond une seule valeur de /, en général.

Le contraire pourrait cependant arriver: par exemple, si

abc a' h' c' a' h" c"

les équations

afi + bt + c a'i^ + b't + c

"^ — a"r^ + b^t + c"' -^ "" at^ -f- bH + c"

ne représentent pas une conique, mais une droite parcourue deux fois, et à tout point de la droite correspondent deux valeurs de /, reliées par Tégalilé

(ab" — ba) lyL^ + (ac" — ca") (/, + t^\ + hc' — cb" =z o.

Mais nous allons montrer que, si tous les points d'une courbe peuvent être obtenus par plusieurs valeurs du paramètre /, on peut toujours trouver un nouveau paramètre T, tel que, à tout point de la courbe, corresponde une seule valeur de T (exception faite pour les points multiples).

Si un même point est obtenu par deux valeurs /j et /., du paramètre, on aura les deux conditions

. R^(^n ^1) = Ô2(^,) ^ (^2) - ^M « ih) = 0 \ / ""^

Les deux fonctions R et Rj admettent évidemment le diviseur l^ — ^2 ; mais il peut y avoir un diviseur de degré plus élevé. Soit D(/,, lo)'» ^^ P^^^ grand commun diviseur, ou sorte que

R,(/„0 = D(«pOQ,l^n^2l i' ^ ^

0 et Qj ne peuvent plus s'annuler que pour des systèmes isolés de valeurs de t^ et /.ii ce qui donnera des points doubles avec branches distinctes, puisque les valeurs de /, infiniment voisines de t^ et de (.^, n'annulent plus R et R,. Ordonnons le polynôme D par rapport h A, :

D=:kq + X,q-' + ... + Aa^2*-« + ... -f- A,„.

L'un, au moins, des coefficients A» est de degré m en /, : car, si Ton échange les lettres t^ et Z^, les polynômes R et R, changent de signe, sans changer de valeur absolue, et par

conséquent leur plus grand commun diviseur D reste le même, à un facteur constant près. Soit A» l'un des coefficients de degré m en Z^; les autres coefficients seront de même degré, ou de degré moindre; A sera certainement de degré moindre, parce que D, devant s'annuler pour /o = /,, ne peut pas contenir le terme /'" /'^. Maintenant, si Ton remplace dans D, soit /.,, soit /,, par une quelconque /, des m racines de l'équation

cette équation sera évidemment encore vérifiée, et les deux équations

D(^,^2) = A(/J/? + AU/,)rr*+... + A«(^,)rr«+...+A,„{f^)z=o,

D(^/,^2) = A(^,)ri'+A^(^/)rr'+... + Aa(//)rr* + ...+A«,(</)===o

dans les coefficients desquelles nous avons mis en évidence la variable, auront les mômes racines en t.^ ; leurs coefficients seront proportionnels, et l'on aura

A(/,) A (M pour î = 1, 2, ..., m. Si donc on pose

le paramètre T prendra une valeur unique pour les m valeurs /,, /oi •••» ^m c'est-à-dire pour le point de la courbe considérée.

387. Nous pouvons maintenant aborder la démonstration du théorème énoncé au numéro précédent et supposer qu'à un point quelconque de la courbe définie par les équa-

lions (76) correspond une seule valeur du paramètre / (exception faite des points multiples que nous allons rechercher). Ces points seront donnés par les solutions communes aux équations (78) : divisons R et R, par t^ — L^^ pour exclure la solution parasite /o = /,, nous obtenons deux nouvelles équations

symétriques en t^ et /^j et de degré n — 1 , par rapport à ces deux lettres.

Posons alors

Gomme les deux équations (81) sont composées avec des termes de la forme

Aap(^^i + ^;^?) = A«p(^^,)P(^rp 4- trh

et que les sommes /f + /J s'expriment, à cause de la formule de récurrence

par des fonctions de degré k en ii^ v, la substitution (82) dans les équations (81) conduira à des équations de degré n — 1, qui auront (n — 1)- groupes de solutions communes. Mais tous ces groupes ne conviendront pas. En effet, pour obtenir les équations (78), nous avons dû multiplier par 6(/j), 6(/9), et si /| et A^ annulent 6(/), le groupe correspondant doit être rejeté. Or il y a de ces groupes autant qu'il y a de combinaisons des n racines de 0(/) deux à deux, savoir

Il restera donc

IN2 n(n^i) fn— \)(n — ^)

groupes de solutions utiles, à chacun desquels correspond un point double. La courbe a donc son maximum de points doubles; elle est de genre zéro.

388. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que la courbe n'avait pas d'autres singularités que des points doubles. Nous avons déjà eu l'occasion de dire qu'un point multiple d'ordre k, à tangentes distinctes, peut être consi-

déré comme remplaçant -^^ — ^ points doubles ordinaires,

et qu'un point de rebroussement de première espèce équivalait à trois points doubles dans la diminution de la classe ou du genre. On pourrait aller plus loin; mais nous nous bornerons à énoncer le résultat suivant : toule courbe algébrique, quelle que soit la nature de ses singularités, peut, par une transformation birationnelle, être remplacée, sans que le genre soit altéré, par une courbe algébrique n'ayant que des poin'.s multiples à tangentes séparées*. (On appelle transformations birationnelles celles qui donnent les coordonnées d'un point quelconque de chacune des deux courbes, à l'exception de certains points isolés, en fonctions rationnelles des coordonnées d'un point de l'autre courbe.) Par de pareilles transformations, deux courbas quelconques d'un môme genre peuvent se correspondre point par point. Nous allons en donner deux exemples.

389. Soit d'abord une courbe (C) indécomposable de genre zéro. Par ses points doubles et par n — 4 autres points fixes de (C), faisons passer une courbe (C) d'ordre a — 2;

comme nous avons nxé seulement -^ ^ — 2

' Voir, par exemple, Jordan, Cours d'analyse de l'École Poli/ technique^ deuxième éditioa, t. I, chap. v. La possibilité du problème résuUe de l'étude que nous avons faite d'une courbe autour d'un point singulier, étude dans laquelle nous avons réussi à séparer toutes les branches.

points, il restera deux paramètres arbitraires, et l'équation de la courbe (C) sera de la forme

»!?« (^1 y) + »2?2(-»> y) + ^sî'al^^ y) = «^ (s^)

^,, ço, 93, étant des fonctions déterminées. La courbe (82) a, comme cela résulte du n° 385, 7i{n — 2) — 2 points fixes communs avec (C). Comme (C) et (C) se coupent en n{n — 2) points, il en reste deux seulement, dont les coordonnées dépendent de a^, a^, a^.

Posons

Si ^, y, est un point dominé, X, Y, est déterminé d'une manière univoque par ces formules. Eliminons x, y, entre les équations (83) et celle de (C), c'est-à-dire exprimons que les équations

ont 'au moins une solution commune de plus que celles déjà existantes. Le résultat de l'élimination sera

A tout point M de (85) correspondra, au moins, un nouveau point m{x^ y) de (C), commun aux trois courbes (84); mais les deux premières de ces courbes appartiennent au type (82), et, par conséquent, avaient déjà n(n — 2) — 2 poinls communs avec(C). Elles ont donc, si le point X, Y, est sur la courbe (85), n[n — 2) — 1 points communs avec (C), et elles ne peuvent en avoir davantage, sans quoi la courbe

9, — X(p + X ((pa — Y93) = o,

qui auraitaussi n {n — 2) points communs avec (C), pourrait, par un choix convenable de X, avoir n{n — 2) + 1 points

sur (G), et par conséquent faire partie de (G), qui serait décomposable, ce qui est contre l'hypothèse. Donc, à un point M de (85) correspond un point unique m de (G).

Il est essentiel de remarquer que l'équation (85) est colle d'une conique; il suffit, pour le prouver, de montrer qu'à toute valeur donnée de X correspondent deux valeurs de Y, et réciproquement. Or, si l'on se donne X, la première équation (8i) détermine une courbe du réseau (82), c'est-à-dire une courbe qui coupe (G) en deux points seulement, dont les coordonnées dépendent de X. A chacun de ces points correspondent par (83) une seule valeur de Y, donc en tout deux.

D'ailleurs, une transformation homographique, suivie d'une inversion ^ permet de faire correspondre à une conique un cercle, puis une droite. Il se trouve donc établi que, par une transformation birationnelle, on peut toujours faire correspondre, point par point, une courbe quelconque de genre zéro à une droite.

390. Lorsqu'un procédé quelconque permet de faire correspondre, d'une manière univoque, les points d'une figure aux points d'une autre figure, on dit qu'on a obtenu une représentation conforme de la première sur la seconde. Les résultats acquis dans le paragraphe précédent peuvent donc s'énoncer ainsi : « On peut toujours obtenir d'une manière rationnelle la représentation conforme d'une courbe de genre zéro sur une ligne droite. »

391. Gomme second exemple, nous allons montrer qu'on peut obtenir d'une manière analogue, la représentation d'une forme courbe (G) de genre im^ non décomposable, sur

t La transformation qui permettra de passer d'une conique au cercle sera, par exemple, une perspective conique, quant aux formules d'inversion un peu moins usuelles, les voici, en mettant le pôle sur le cercle,

k est la puissance dinversion, et ces formules sont bien birationnelles.

une cubique sans point double. La méthode étant identique à celle qui vient d*ôlre employée, nous n'insisterons pas sur les détails.

Par les

points doubles et par n — 3 autres points fixes de (G), faisons passer une courbe (C) d'ordre n — 2. Son équation sera de la forme (82)

et elle coupera (C) en

points fixes et en trois autres points dont les coordonnées dépendront de a^, «2» «3- Posons encore

Xr=ÎJ. Y = Î2; (83)

et, entre ces deux équations et

éliminons x, y. Nous obtenons Téquation

A un point m de (C) correspond évidemment un seul point M de cette nouvelle courbe (D. Réciproquement, si X, Y satisfont à Téquation (85), les trois équations (83) et (84) acquièrent une nouvelle solution commune en x, y, ce qui fait en tout

et elles ne peuvent en avoir une de plus, sans quoi la

courbe

?< — X93 + ^(?j — Ycpa) = o

n'aurait plus avec (C) qu'un seul point d'intersection dont les coordonnées dépendraient de a; les coordonnées de ce point s'exprimeraient rationnellement en fonction du paramètre X; la courbe (C) serait de genre zéro, ce qui est contraire à rhypothèse.

Ainsi, à tout point de la courbe F, correspond bien un seul point de (C). D'ailleurs (F) est une cubique. En effet se donner X, c'est prendre pour valeurs des paramètres

x^ = l, aj — o, «3 = X,

et Ton sait que trois seulement des systèmes de valeurs correspondantes de x et de // dépendent de a^, a^» ^3* ^'^^ suite, Y prend au plus trois valeurs différentes pour une valeur donnée à X, et réciproquement : T est donc une cubique. Cette cubique n'a pas de point double, sans quoi elle serait unicursale ; les coordonnées de ses points s'exprimeraient rationnellement en fonction d'un paramètre, et il en serait de même pour (C), ce qui est contre l'hypothèse. Le théorème est donc démontré.

Corollaire. — Projetons la courbe F de manière qu'un de ses points d'inflexion soit à l'infini et que la tangente en ce point soit également rejetée à Finfini ; s = 0 doit donner trois points confondus. L'équation sera donc, en coordonnées homogènes, de la forme

Pj + z[\ = o,

P, étant une fonction linéaire, Po un polygone du second degré. Un changement de coordonnées permettra d'écrire Féquation prc^cédente sous la forme

x^ + P^ = o, et Po contient nécessairement un terme en y'% sans quoi y

s'exprimerait en fonction rationnelle de Tabscissc, et la courbe serait unicursale. P.2 pourra alors se mettre sous la forme

[ajj + hx + c)* + ^^^ + ^^ + /"

a ^ 0. Prenons la droite

ay -f- ^^ -f c = o pour axe des x, Téquation de la cubique devient

?/^ = oa?* -f- p^?* 4" T*^ "h ^•

Une dernière substitution, qui remplacera x parXar + ji., donnera enfin la forme la plus réduite

d'une courbe sur laquelle on puisse obtenir la représentation conforme de toutes les courbes de genre un.

Quelques formules en coordonnées polaii'cs

392. Les formules que nous avons à donner dans ce paragraphe s'obtiennent par de simples changements de variables. Soit

X ■= ^ cos (0, y = p sin o).

On en tire, si w est pris comme variable indépendante,

dx = — p sin<titf(D -f- cos (oc?p,

dy = p coso>t/(i> -j- sincor/p,

d^x =. — p coswrfoj* — 2 sin o3t/(oc^p -|- cosiDrf^p,

d^y = — p sin Ww* 4~ 2 cos oidoidp -f- sin <t)C?^p,

et par suile, comme on l'a déjà- vu, pour la différentielle de l'arc

ds^ =1 rfp2 + fdi

et pour le rayon de courbure (n* 104)

R:^ (p'^+pT . (87)

Si Ton pose p =-? cette formule devient

u'^u + tr)'

et Ton voit que les points d'inflexion s'obtiendront en faisant le rayon de courbure infini, ce qui donne Tdq nation

qu'on peut t^crire

393. Concavité vers le pôle. — Nous allons retrouver ce résultat en cherchant directement la condition pour que la courbe tourne sa concavité vers le pôle, c'est-à-dire pour qu'elle soit située dans le voisinage du point M, entre le pôle et la tangente en M.

Soit MT la tangente au point pq, wq. Si la courbe est

concave vers le pôle, en menant un Im* rayon vecteur, voisin de OM, qui coupe

\m la courbe en M', et la tangente en M",

il sera nécessaire que Ton ait

: OM" — OM' > o.

FiG. 40.

Si p est positif au point M, et par conséquent dans le voisinage, en appelant r le rayon vecteur OM* de la tangente, et p celui OM' de la courbe, l'inégalité précédente s'écrira

si p est négatif en M, il faudra écrire

Pour traiter simultanément ces deux cas, nous emploierons la formule unique qui convient toujours

Étudions donc le signe de la quantité r — p, ou celui de

j qui est le môme.

On a vu, au chapitre précédent (formule 51), que - = -cos((o — u)o) + (^--j sin ((O — u)o) 1

ou ici

il.. /i\' .

= - C08 A(i> + ( — ) sm *^a).

\Po/

De plus, si Téquation de la courbe est on aura, dans le voisinage du point M,

i = /-(coo + Aco) = /-((Oo) + ^< (c«>o) H- ^ r («0 + ÔAo>).

Si Ton remplace cosAo) etsinAo) par leurs développements en série, on voit que la valeur principale de la ditTé-

1 1 rence sera

si la quantité entre crochets nVst pas nulle. Par conséquent, pour que la courbe soit, dans le voisinage du point M, con-

cave vers le pôle, il sera nt'^cessairo et suffisant que Ton ail en ce point

P vp/

la valeur principale de sera de troisième ordre et

P ^ changera de signe avec Aw, il y aura inflexion. Le lecteur

vï^rra lui-môme ce qu'il faudrait dire, si la valeur princi-