COURBES GAUCHES. — SURFACES CONGRU ENCES. — COMPLEXES DE DROITES

Courbes cjauches

ri94. Dans ce chapitre et dans le suivant, nous supposerons les axes de coordonnées rectangulaires, pour toutes les questions qui concernent les angles ou les distances.

Une courbe gauche peut être définie soit comme intersection de deux surfaces dont on donne les équations

soit comme lieu d'un point, dont les cordon nées x, y, z sont données en fonction d'un paramètre t variable, par les formules

L'élimination du paramètre / donnerait les équations de deux surfaces contenant la courbe, et, d'ailleurs, le second mode de représentation comprend le premier, en supposant

Nous pourrons donc, dans ce qui suit, supposer toujours la courbe représentée par les équations (1). En particulier, sauf avis contraire, les diiîérentielles

auront pour valeurs respectives

De même (Px = -—r dfi. (Pu = ... etc.

On appelle ordre d'une courbe gauche le nombre de ses points d'intersection avec un plan quelconque.

Un grand nombre des considérations relatives aux courbes planes s'étend, sans modifications, aux courbes gauches; nous comme^ncerons par les passer en revue.

«195. Différentielle de l'arc. — La longueur d'un arc de courbe se définit exactement comme nous l'avons fait pour le plan ; il n'y a qu'une variable de plus. Il en résulte immédiatement, pour la différentielle de l'arc, la formule

efe2 — rfa?2 + dy^ + dz^. (2)

•^96. Tangente. — La droite qui passe par un point M(.r, ij,z) de la courbe et par un point M'(j; + Aj:, y -h Ay, z + A:;) très voisin, pris sur la môme courbe, a pour équations

X — oc Y — y Z — z

Lorsque M' tend vers M, la sécante a pour position limite la tangente en M, cette dernière droite a donc pour équations

dx dy dz

Ces deux équations peuvent aussi s'écrire

Si la courbe était donnée par les deux équations

F (^1 .Vi ^) = o»

Fi(^% y^ ^) = 0,

il faudrait différentier, pour avoir dx^ rfy, dZy ce qui donnerait

L'élimination de dx, rfy, rfs, enlre ces équations et les équations (3), se fait en remplaçant dans (4) les différentielles, par les valeurs proportionnelles tirées de (3); on trouve ainsi immédiatement

Chacune de ces équations représente un plan, et l'intersection de ces deux plans est la tangente à la courbe. Si