DF ?F
^x ^y liz
la tangente est indéterminée, et le point de la courbe est dit singulier. Nous n'étudierons pas les points singuliers dans les courbes gauches ; le lecteur trouvera sur ce sujet des indications utiles dans le tome I du Traité (t analyse de M. Emile Picard.
397. Les cosinus directeurs de la tangente, c'est-à-dire les cosinus des angles, que fait la tangente avec trois axes rectangulaires, sont proportionnels aux dénominateurs qui
figurent dans les formules (3). On a donc :
cos
a cosp COS Y , V^cos^ oc -{- cos' g -|" ^^^^ Y l> J
dx dy dz ^dx^ ^ ^y^ ^ ^2 ds
ou, en choisissant pour sens positif, sur la tangente, celui dans lequel croissent les arcs
dx , dy dz
cosa — ---• cosfc:=-j^5 C0SY = — • (0;
ds ^ ds ^ ds
Ces formules pouvaient aussi s'obtenir par des considérations géométriques, comme les formules (64) du chapitre précédent.
398. Plan normal. — On appelle plan normal à une courbe gauche en im point le plan perpendiculaire à la tangente en ce point. Comme, lorsque les axes sont rectangulaires, la perpendiculaire à un plan a ses cosinus directeurs proportionnels aux coefficients de X, Y, Z dans l'équation du plan, on voit que Téquation du plan normal au point M(./\ y, z) est
p = (X — X] dx + (ï -- y^ dy + (Z — z] dz = o. (7)
L'intersection de ce plan et du plan normal infiniment voisin s appelle la droite polaire ; elle est déterminée par Téquation (7) et par Téquation
P + dP = 0, ou encore
rfP = f X — a?) d^x + ( Y — y . d^y + (Z — z] d^z — ds^ = o. (8)
Si ou appelle ;, r,, Z, les angles que fait cette droite avec les axes de coordonnées, on aura
cos 5 cos n cos ;
yd^z — dzd'-y dzd'x — dxd^z dxd'y — dyd'Z
Le lion des droites polaires d'une courbe s'appelle la surface polaire.
CJ90. Courbure. — L'angle de contingence est encore ici l'angle de deux tangentes infini ment voisines, et la courbure^ la limite du rapport de cet angle h l'arc. Calculons ces éléments.
La tangtîiite au point x -+- (/x, y -f- rfy, z -h dz, a pour équations
X — X — dx Y — y — dy Z — z — dz .
dx + d'x ~ dyArdr-y ~" dz -^ dT-z ' ^^
Or, si deux droites ont pour équation
leur angle V s'obtient par la formule
. yj{bc' — cb'Y 4- (ca' — ac')* + [ah' — ba'f
sin V = — ^ ■ ■ - =r'
yji^a^ + ô^ + c') (a'a + ô'« 4- c'=»)
On aura donc, en appliquant la formule précédente aux équations (3) et (10)
. \l{dyd^z — dzd^y)'^ + (dzd^x — dxd^x)^ + [dxd^y ~ dyd^x)^
"" \J[dx'^ + dy^ + dz''\{dx + dhv\^ + [dy + t^3/)a+(ûf^+ rf'-'y^
Si l'on remarque que sinV et V ont la même valeur principale, et qu'au dénominateur d^x est négligeable devant dx, dry devant dy^ d^z devant dz, on trouve pour la courbure
\ \J[dyd^z-dzd^y?-\-[dzd:^x—dxd^z)''+[dad*y-dyd^x'f ^ds~ yj[dx'*+dy^+dz'^f
CALCUL UtFIIflTÉSIMAL. 26
On retrouve au numérateur des binômes déjà rencontrés (9); nous adopterons, pour désigner ces binômes ou plutôt leurs quotients par rf/^, une notation spéciale. Nous poserons
La courbure s'écrira ainsi
et son inverse, que nous appellerons encore rayon de courhure, aura pour expression
^^i^l±ïl+A, (14)
enfin les équations (9), qui définissent la direction de la droite polaire, deviendront
COSS COSTl cosÇ 1 . „.
Remarquons en passant que la formule (14) est tout à fait Tanalogue de la formule (65) du chapitre xvii, si Ton prend s comme variable indépendante. On a en effet, dans
ce cas
et en différentiant
oo'x' + y' y" + z'z'' = o.
Puis, h cause d'une identité connue, A^ + B> + C>
D'où
