X IJ

7' / " ^ pour équation

Vt t ) ^x + Vt /; .\y ^^ Vt / j c^î - °'

OÙ à cause de i'idenlité précëdenle,

Xv+^'? + ^'V-+-'^sf="- (20)

cX vh vZ 01

4l>5. Le plan tangent devient indéterminé, si les trois

^/ ^f ^f dérivées :^» :^» ^ sont nulles au point x, y, s, /. Ce point

vJC Oy vZ

est alors dii point singulier. On peut encore se proposer de trouver le lieu géométrique des tangentes en ce point. La méthode que nous allons employer nous donnera directement Téquation du plan tangent sous la forme (20).

On sait qu'une tangente au point -M est la limite des positions d'une sécante qui passe en ce point, lorsqu'un deuxième point d'intersection de la sécante avec la surface vient se confondre avec le premier, suivant une loi déterminée, d'ailleurs arbitraire. Soient alors x, y, s, t les coordonnées homogènes du point M et X, Y, Z, T celles d'un point courant de la sécante qui passe en M; on sait qu'un autre point M' quelconque de la s^^canle pourra être considéré comme ayant pour coordonnées

et, si ce point est sur la surface, on aura identiquement f[x-\-\\, y + ><Y, ^ + XZ, f-f.XT) = o. Développons cette équation par la formule de Taylor :

Le premier terme est nul par hypothèse ; l'équation précédente, considérée comme déterminant les valeurs de X d'où résulteront les coordonnées x', //, z\ t' des points M' communs à la surface et à la sécante, a une racine nulle en X,

■ * tm

ce qui (Hait facile à prévoir. Pour qu'une seconde racine soit nulle, il sera nécessaire et suffisant que le coefficient de A soit nul ; on retrouve ainsi Téquation (20) du plan tangent. Si ce plan est indéterminé, le point sera singulier. Suj)posons toutes les dérivées partielles nulles jusqu'à Tordre n exclusivement; X" se trouve en facteur; toute sécante qui passe en M coupe la surface en n points confondus avec M; le point M est dit imdtiple d'ordre /t. Pour qu'un nouveau point vienne se confondre avec les précédents, il faut et il suffit que

Celte équation symbolique est celle d'un cône de degré /i contenant toutes les tangentes au point M.

Théorie du contact

40B. Le principe de la théorie est le même que pour les courbes planes. Nous laisserons de côté le contact de deux surfaces.

Deux courbes planes ou gauches, ou une courbe et une surface, ont un contact de z^""" ordre, lorsqu'elles ont en commun ?2 -h 1 points infiniment voisins. Si Iq, /q + -^i^or /q -h Ao/q, ..., /n + -^Ji) définissent n -h 1 points de la courbe gauche (C), il faudra exprimer que les points ainsi définis sont sur la deuxième courbe (C) ou sur la surface (S).

Examinons d*abord le cas de deux courbes (C) et (C), et supposons (C) donnée par les équations [i], (C) par les relations

En remplaçant dans ces équations ./•, //, :; pHr/^(/), /ô(/), /af/) respectivement, on obtient deux équations

et les conditions

se transforment, comme dans la théorie du contact des courbes planes, en

S'il s'agit du contact de la courbe (G) et de la surface (S)

il est évident que la même méthoJe s'appliquera et que les conditions seront

Il résulte de là que, si x,, f/i, z^, sont des valeurs des variables déterminées par une valeur i^ du paramètre, inliniment voisine de Cq, l'expression F(xj, y|, z^) sera inliniment petite d'ordre n + 1, par rapport à l'accroissement de t. On aura en effet identiquement, à cause des relations précédentes,

F('^*.yn^i) = + (^) = *J'(^o + ^0

Il faut remarquer que, si le point est ordinaire sur la courbe gauche, A/ est du m^me ordre que l'arc infiniment petit de cette courbe.

407, Nous démontrerons encore que, par analogie avec le cas des courbes planes, lorsqu'il y a, en un point ordinaire M, contact du n"' ordre entre deux courbes gauches, ou entre une courbe et une surface, on peut trouver sur les deux figures correspondantes deux points N et N,, infini-

ment voisins de M, et tels que leur distance soit d'ordre 71 -+- i au moins par rapport à MN. Nous distinguerons deux cas :

1° Cas de deux courbes (C) et (C,)

Soient Xq^ ?/q, les coordonnées du point M de contact, x, y, z, celles d'un point N de (G), T|, y^, s,, celles d un point Nj de (C,). Nous supposerons que la tangente au point M ne soit pas parallèle au plan zof/ ; MN se projette alors suivant un infiniment petit x — Xq dQ môme ordre. Prenons le point Nj, de manière que

On aura évidemment

NN, ^|y-y, I + \z-z,\

Or on voit, comme au chapitre précédent, n** 336, que

Donc NNi est bien du {n + 1)""' ordre au moins par rapport h X — j-Q ou à MN.

La réciproque se démontre comme pour les courbes planes.

2"* Cas d'une courbe (C) et d'une surface (S), ayant pour équations respeclivement

z=mx,y). (S)

Soient encore Xq, y^î ^o^ ^^^ coordonnées du point M commun aux deux figures; x^ y, z, celles d'un point N de (C); ,r,, y,, 2,, celles d'un point N, de (S). Nous pouvons encore

supposer que la tangente au point M à (C) n'est pas parallèle au plan soy, et, par suite, que MN est de môme ordre que r — .r^^, D'ailleurs les ^»quations de (C) donnent

y — yo = (^ — ^o) r' >« + M^ — ^0^] 1

^ — ^0 = (.T — œ^) (p' [xq + ô^ (a? — .ro)],

d où il résulte que y — i/q et z — Zq sont de Tordre de œ — Xq, si les dérivées /'{xq) et ^'(^o) ^^ ^^^^ P^*' nulles, ce que nous supposerons. Prenons le point N| de manière que

^•| = ^, i/i = y- Alors

Or

= cp (a?) — F [a?, f[œ)] = ^ [x)= ^ [x^ ^ x — x^) et

Par hypothèse, il j; a contact du />"* ordre, c'est-à-dire que

+ (^o) = o, f (oJo) = 0, ..., f «) (a?o) = o.

La différence z — z^ est donc d'ordre /i + 1, au moins par rapport à j: — x^^ ce qui démontre le théorème.

La réciproque est évidemment vraie : si une courbe (C) et une surface (S) ont un point M commun, et s'il existe sur (C) un point N, sur (S) un point N,, tel que NN| soit infiniment petit d'ordre w + 1, par rapport à MN, la courbe et la surface ont un contact du n^* ordre. Il suffit, pour le voir, de prendre oz parallèle à NNj.

408. Ce qui précède suppose, comme dans le contact des courbes planes, que le point M soit un point ordinaire sur (C) et sur (S).

■k -fc

Osculation

409. On dit qu'une courbe ou qu'une surface sont osculatrices avec une courbe gauche donnée lorsqu'elles ont avec cette courbe gauche le contact de Tordre le plus élevé compatible avec le nombre d'arbitraires qui figurent dans leur définition. Comme application de la théorie du contact, nous allons chercher les figures les plus simples osculatrices à la courbe gauche (1).

410. Droite osculatrick ou tangente. — Les équations d'une droite renferment quatre paramètres; on pourra donc l'assujettir à quatre des conditions (23). La droite a pour équations

si elle doit être osculatrice à (C), au point ^, y, z, on aura les conditions suivantes, dans lesquelles x\ y\ z\ désignent toujours les dérivées par rapport à / :

X = az ~\- a,

a)'= az\

On en tire

Ce sont bien les équations de la tangente (3).

Plan osculaieur