Le plan
aX 4- ôY + cZ + rf = o, renfermant dans son équation trois paramètres, pourra être
assujetti à trois conditions (contact du second ordre), savoir
ax -f^ by -\- C2 -f- û? = o,
ax" + by' + cz
L'équation du plan osculateur sera donc
Jt
ou, en désignant par A, B, C, les mômes quantités qu'au n^ 399,
Par définition, le plan osculateur passe par trois points infiniment voisins, ou, ce qui revient au môme, par la tangente et un point infiniment voisin. On peut montrer facilement qu'il est encore le plan mené par une tangente parallèlement à la tangente au point infiniment voisin. En effet la condition pour que le plan
A(X ^ .t;) + B(Y - y) + C(Z - z) = o passe par la tangente
est
kœ' + By' + Cz' = o.
Elle est identiquement vérifiée à cause de la signification de A, B, C. La tangente au point infiniment voisin a pour paramètres directeurs x' + r/x\ y + dy\ z + (1z\ ou X -H .rV/, y' + y'V//, z + zV/, et elle sera parallèle au plan osculateur si
A (x + x'dt) + B [y' + t/'dt) + C (2' -I- z"di) =z o.
4ï2 CHAPITRE XVÏIÏ
Colle condition, qui se réduit à
\x + B/ + Cz" = G, est encore identiquement vérifiée.
Cercle oscillateur
4 là. Les équations d'une circonférence
(X - ac)^ 4- (Y - p)2 + (Z - r)^ =. R\
contiennent six paramètres; on pourra donc écrire les six premières conditions (20), ce qui établit un contact du second ordre,
(^ - ^)' + (y - pr + (^ - y)' - R'
^•' [x — ol) + y [y — {Jj ■]- z [z — ^) — Q
ax -f- %' -j- c^' =0
ax" + /y.y" + c^-" = o
Les deux dernières montrent que a, b, c ont précisément pour valeurs A, B, C, c'est-à-dire que le plan du cercle osculateur est le plan osculateur; les trois précédentes détermineront a, ^, 7; les deux premières d'entre elles expriment que le point a, jâ, 7, se trouve sur la droite polaire. On peut donc énoncer en passant ce théorème : Le centre du cercle osculateur est à V intersection du plan osculateur et de la droite polaire. Il résulte aussi des formules (15) que la droite polaire est perpendiculaire au plan osculateur : la droite polaire est F axe du cercle osculateur; on rappelle souvent axe de courbure. Calculons maintenant a, g, 7; on tire aisément des éqnalions (20) :
Cy' — B^' "" Ay — Cx ■" Bx' — Ay'
"= ■" X" (Cy' - B^') + y" [Xz' - Cx') + z" (B.V - Ayf
Le dernier membre est égal à
Le centre du cercle osculateur est donc donné par des formules relativement simples, qui se déduisent par permutation de la première
On en déduit
c'est-à-dire la môme valeur que pour le rayon de courbure (14). Le cercle osculateur peut donc encore être appelé cercle de courbure, son rayon, rayon de courbure^ et son centre, centre de courbifre.
Ti*ièdre mobile
41 ii. On appelle normale principale en un point d'une courbe gauche, celle des normales à la courbe qui est située dans le plan osculateur en ce point. La normale principale passe donc au centre de courbure.
Nous pouvons maintenant définir trois droites deux à deux rectangulaires et parfaitement déterminées en chaque point de (C), que nous prendrons comme axes de coordonnées mobiles avec le point de la courbe : Taxe des x sera la tangente à la courbe comptée dans le sens des arcs croissants ; Taxe des y, la normale principale comptée vers le centre de courbure ; Taxe des r, la perpendiculaire aux deux premiers ; cette perpendiculaire est parallèle à la droite polaire et a reçu le nom de hinormale.
Ou définit le sens de cette dernière droite par la condition que le trièdre mobile puisse être amem^ à coïncider avec le trièdre des axes fixes; en d'autres termes, la binormale est orientée par rapport k la tangente et à la normale principale comme Oz Test par rapport h Ox et h Oy.
Nous avons déjà calculé par les formules (6) les angles a, g, Y, de la tangente avec les axes fixes, et par les formules (9), (15), les angles q, r^, ;, de la binormale avec les mêmes axes. On en déduira facilement les angles directeurs X, p., V, de la normale principale [qui d'ailleurs résulteraient aussi des formules (27)], par les formules
CCS X =: ces r\ cos Y — ces C ces p, ces jjL = cos C cos a — cos l cos y,
COSv =: COSÏ COSP — COS T, COS a.
Torsion
414. Il existe, entre les différentielles de ces divers angles, des relations que nous établirons bientôt ; mais il importe de définir d'abord un dernier élément capital dans Tétude des courbes gauches. Nous voulons parler de la torsion ou seconde courbure.
On comprend, en effet, que la courbure ne peut servir à différentier les courbes planes des courbes gauches ; le caractère de ces dernières étant d'avoir, en chaque point, un nouveau plan osculateur, il était naturel d'introduire, comme élément fondamental, l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins, ou mieux le rapport de cet angle à à l'arc infiniment petit correspondant. C'est ce rapport que nous appellerons torsion et que nous désignerons par la lettre t : nous allons la calculer.
Soient (35)
A (X - ^) + B (Y - y) -h C (Z - ;r) = 0, (A+rfA)(X-.'c-^)+(B+rfB)(Y-y-c;y)-{-(C+rfC)(Z-^-rf^)=o,
