SURFACES, ETC

les équations de deux plans osculaleurs infiniment voisins. Leur angle ^ sera donne» par la formule

. , {BfiC — CdBy + {Cd\ — AdC)^ + (ArfB — B^^A)^

sin t — , .^j^ J32 ^ c'^) r( A -f ,/A)2 + (B + dBJ' + (C + rfC)^]*

ou comme ^ et sin^i; ont la môme valeur principale

a S (BrfC — CrfB)«

t/A = [y y'' — iry") rf^

Si donc on pose

Itt

Jff

on voit que les binômes qui figurent au numérateur de ^^ seront, au facteur dt près, les mineurs du déterminant adjoint de D; leurs valeurs seront donc, d'après un théorème connu,

BrfC — Cr/B = xT>di, CdA — A^C = tjVdt, AdB — Bd\ = z'DdL

On en déduit

jx'^ + y'" + ^'i») D»rf<»

(A" -j- lî» + C»)» '

ds A» + B« + C»

Remarquons que les équations des deux plans osculateurs infiniment voisins peuvent s'écrire

BrfC — CdB ~ CrfA — ArfC ~ ArfB — BrfA'

OU, d'après ce qui procède,

La tangente en un point est donc Tintersection du plan osculateur en ce point et du plan osculateur infiniment voisin.

415. Les courbes planes ont pour plan osculateur leur plan : leur torsion est donc nulle. Mais sont-ce les seules courbes pour lesquelles on a

Pour répondre à cette question, je supposerai que la variable indépendante soit x :

La condition précédente se réduit donc à

dx^ dx^ dx^ dx^ '

ce qui peut s'écrire :

dx^ dx'^

d^y d^z dx^ dx^

Kn remontant aux fonctions primitives, on trouve

^^e:;Â7^=^^8:,7-. + iogL,

dhj d^z , dx' "" dx^ '

puis

dx^^ dx^^''

y = Cz -{- C^x 4" Cj,

Les courbes planes sont donc les seules pour lesquelles la torsion soit nulle en tous les points. Les points d'une courbe gauche pour lesquels la torsion est nulle sont dits points où le plan osrnlatem* est stationnaire. Ils sont les analogues des points d'inflexion dans les courbes planes.

1il6. En général, la distance d un point M' d'une courbe gauche au plan osculateur en un point M infiniment voisin, est un infiniment petit de troisième ordre par rapport à Tare MM'. En efl'et, soient x + Ax, y -4- Ay, :; -\- Az, les coordonnées du point M'; sa distance au plan osculateur, dont l'équation est

A(X - :,) + B(Y - ^) + C (L - z) = o, sera

I AAa? + BA.v + (:Ag I "" y'A^ + B^ + iJ

Or la formule de Taylor donne

A.r =r (Ir 4- ~ d^x 4- - d^.x + ...

Ay = rfy + ...

t^z = ds -\- .., et comme par hypothèse

il reste

\dx -f" ^(^h + tlr/^s: = o,

- i I Ad^x + Bdh/ + (>/'^z + ... I "" "" ^ VA-» + B2 + C^

fPa: = x"di\ d^y = y"dt^, d?z = z"'dî^ ; la valeur principale de o est donc

« Va» + w + c» 6 Va» + b» + c:-

CALCUL UïFIICITÉSlMAL. 27

:tç^

Elle est bien du troisième ordre. Aux points où le plan osculateur est stationnaire, sa distance au point infiniment voisin devient d'ordre supc^rieur au troisième.

Pour les points ordinaires, on peut donner un aspect plus géomcHrique à la dernière formule, en introduisant dans § la courbure et la torsion. Un calcul immt^diat montre que

Cotte distance changeant de signe avec rfs, la courbe traverse le plan osculateur.

Représentalion spliéi*ique

Kelaiions entre les différentielles des cosinus

direeteui*s du triédre mobile

417. Dans ce qui va suivre, nous dt^signerons par a, g, y, X, [JL, V, ;, y;, î, les cosinus des angles, qui étaient jusqu'ici (n** 414) représentés par les mêmes lettres, c'est-à-dire que nous écrirons a au lieu de cos a, et ainsi de suite.

Les formules de Frenet^, que nous allons établir, se démontrent très aisément à Taide de la repi^ésentation sphériqne. Soit o le centre d'une sphère de rayon un; par ce centre menons une parallèle à la tangente MT au point M de (C), et dans le sens choisi comme positif sur la tangente. Cette parallèle percera la sphère en un point m qui est déterminé par la tangente en M et qui la détermine sans arabiguité. Ce point m est la représentation sphériqxie de MT, et le lieu de m s'appelle Y indicatrice sphérique^] les coordonnées de m sont évidemment a, 3, y- La tangente au point M' infiniment voisin sera représentée par le point f?i de coordonnées a + rfa, g -|- rfg, y + ^/y» ^^ sorte qu'on a

^ On donne aussi parfois à ces formules le nom de Serrel, ce géomètre les ayant obtenues, de son côté, peu de temps après Frenet.

2 L'indicatrice sphérique d'une courbe plane est un grand cercle, et récipro quement.

immédiatement pour la courbure

i arc mm!

R "" arc mm'

Remarquons, en outre, que la droite mm est à la limite perpendiculaire à om, et qu'elle est dans un plan parallèle à om et à om ^ c'est-à-dire à deux tangentes infiniment voisines : mm' est parallèle au plan osculateur et, par suite, à la normale principale. Ecrivons cela, en prenant pour sens de la normale celui de m. vers m\

d'où

r/a £?S t/y rff .

^^a = X ^ , (l^ ~ '"■ R ' ^^T = ^ Jî • (3^)

Ce sont les premières formules de Frenet.

Représentons maintenant sphériquement les droites polaires en menant o/i, on* parallèles à ces droites ; miî mesurera Tangle de deux droites polaires, et Ton aura

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