Lorsque Téquation d'une surface renferme deux

paramètres

r{pc,y.z,a,h)-=o, (69)

on peut encore trouver une surface S, à laquelle elle demeure tangente, quelles que soient les valeurs prises par a et é, et qu'on appellera encore Venveloppe de la surface variable. Pour y arriver, supposons d'abord

on aura alors une caractéristique définie par l'équation (09) et par

Ouelle que soit la fonction ?(«), les courbes définies par (69) et (70) auront un ou plusieurs points communs définis par les équations

Le lieu de ces points s'obtiendra en éliminant ez, 6, entre ces trois équations. On obtiendra une surface S, qu'on peut supposer représentée par la première équation (71), à condition d'y remplacer a et b par leurs valeurs tirées des deux dernières équations. Le plan tangent à la surface (S) aura pour équation

^^ ""^ l:>œ "^ ^a cV ^ ^b ^J

et cette équation se réduit à

(X-«.)|+(Y-y)|+lZ-.)^=o.

qui est celle du plan tangent à la surface donnée. Le théorème est démontré.