Exemple. — Le plan

ux •-{- vy -{' wz = sfà^u^ -|" bhi^ + cho^ a pour enveloppe Tcilipsoïde

aj2 .iî -2

Pour le voir, il suffit de considérer comme paramètres variables — i — > et d'appliquer la règle précédente.

Théorie des développées

4t46. Nous avons vu que les normales principales d'une courbe gauche n'ont pas d'enveloppe. Mais on peut se pro-

poser d'associer les normales d'une courbe, de manière qu'elles forment une surface développable. Ce problème a une infinité de solutions que nous allons rechercher : les enveloppes des normales s'appellent encore des développées. Nous emploierons une méthode très féconde pour la résolution des problèmes relatifs aux courbes, et dont nous avons déjà dit quelques mots; nous voulons parler du trièdre mobile.

Soient OX, OY, OZ, les axes de coordonnées rectangulaires fixes, X, Y, Z, les coordonnées d'un point P quelconque de l'espace, par rapport à ces axes; soient a, 6, c, les coordonnées d'un point M, de la courbe. Mj-, M;y, Mz, les axes mobiles attachés au point M, savoir, la tangente, la normale principale et la binormale. Soient enfin, x, y, s, les coordonnées du point P par rapport au trièdre mobile.

Les formules connues de la transformation de coordonnées sont, en conservant toujours, pour désigner les cosinus directeurs des axes mobiles, les notations des paragraphes précédents,

z = c + ya? -f- vy -f- U /

Ces formules, jointes à celles de Frenet, renferment toute la théorie des courbes gauches.

447. Si, par exemple, le point M est le point d'une normale dont le déplacement infiniment petit est tangent à la normale, il satisfera aux trois conditions suivantes : 1^ il sera dans le plan des ys, ce qui donne

a? = o ; 2° son déplacement étant perpendiculaire à Ox^ on aura

f/X , - (Vi . (VL .-«V

3"* ce déplacement sera dirigé vers le point M.

Or, des équations (69) on tire, par la différentialioH, trois équations, dont la première sera

d\ = (la + ^^y -f" 5^^^ -f" W^ + ^^^

ou, en remarquant que da = oals et en utilisant les formules de Frenet (31, 34),

d\ z= \dy + \dz + ;a — [kx -f tÇ) y -f- Xt^] ds.

Multiplions cette équation par a, les deux analogues par 3 et Y, puis ajoutons membre k membre. Il vient

ar/X + prfY + yr/Z = (1 — ky) ds,

OU, à cause de (70),

1 — ky = o.

Cette équation montre que le point de la normale, qui décrit la développée, est sur Taxe de courbure. Donc toutes les développées sont sur la surface polaire.

Il reste à exprimer que le déplacement du point P est dirigé vers M; pour cela, je remarque que les projections de ce déplacement sur Oy et sur 0- auront respectivement pour valeurs

Xr/X 4" \^d^ + vr/Z ^ dy -\- zxdSj ld\ -f fid^ + ^dZ = dz ^ yxds.

Ces projections devant être proportionnelles à y et à 5, on a

dy -j- zxds dz — yxds

Celte équation peut s'écrire

ydz — zdy ^—T'x — 2 = 'f^^i

OU

d . arc tang ^ = ids.

Appelons V Tangle de Ja normale considérée avec la normale principale; l'équation précédente devient

d\ = rds.

P#ur une seconde normale faisant un angle V^ avec la normale principale, on aura aussi, si elle enveloppe une courbe,

d\^ = 'zds ; d'où

Donc les normales de la courbe qui enveloppent deux développées différentes font^ entre elles ^ un angle constant.

448. Les développées des courbes gauches jouissent encore d'une propriété analogue à celles des courbes planes. Leur arc est égal à la différence des longueurs des normales qui aboutissent aux extrémités de cet arc. On pourrait donner de ce théorème une démonstration analytique analogue à celle que nous avons donnée pour les courbes planes. Nous préférons faire connaître une méthode géométrique fondée sur un lemme qui est d'un usage fréquent.

449. Soit / = AB un segment de droite qui se déplace suivant une loi donnée ; soit /' = A'B' une deuxième position de ce segment infiniment voisine de la première. Nous allons évaluer la partie principale de la variation du segment. Appelons a Tangle de AB et de A'B'; le théorème des projections appliqué au contour AA'B'B projeté sur AB donne l'égalité

/ = AB = AA' cos A'AB + AB' cos a + B'B cos (ti — B'BA) = AA' cos A'AB -I- r cosa -t- BB' cosB^BA.

QL est infiniment petit. Donc, en négligeant les infiniment petits du second ordre, on peut remplacer cosa par i, et écrire

rf/ = r — Z = AA' CCS A'AB + BB' cos B'BA. (74)

C'est la formule cherchée.

450. Appliquons-la au problème des développées. Soit AB une normale à la courbe gauche en A, B son point de contact avec la développée. Le déplacement de A étant normal à AB, cos A'AB est infiniment petit; le déplacement de

B est tangent à AB, donc cos B'BA est infiniment voisin de d= 1. La formule (74) se réduit donc à

dlz^± BB'.

Mais, toujours avec la môme approximation, on peut, si Ton appelle <? Tare de développée, remplacer la corde BB' par la différentielle de Tare r/j, (»t Ton a enfin

Supposons, par exemple, une portion d'arc sur laquelle les arcs croissent en môme temps que les normales. On

aura

dl = (h,

et cette dernière égalité exprime la propriété qu'il s'agissait de démontrer.

451. La notion de développante en résulte. Si Ton fixe un fil en un point d'une courbe gauche (F), et qu'on enroule le fil sur la courbe, puis qu'on déroule le fil en le tendant à chaque instant suivant une tangente, un point quelconque du fil décrira une trajectoire orthogonale des tangentes. Cette trajectoire est dite développante de la courbe (F), et (F) est une développée de cette développante. La démons-

tration résulte encore de la formule (74). Ici, par hypothèse,

cos BBA est infiniment voisin de zéro, dl-= arc BB'; il en

résulte que cos A'AB est infiniment petit, c'est-à-dire que le déplacement de A est normal au fil AB.

!• Les normales qui enveloppent une développée décrivent, comme on sait, une surface développable. Le plan tangent à cette développable est le plan osculateur de la développée; mais la courbe gauche donnée (C) étant évidemment sur la développable, le plan tangent contient la tangente à (C). Cette tangente étant perpendiculaire au plan tangent de la surface polaire, le plan osculateur de la développée est normal à cette surface polaire. Donc les développées sont des géodésiqties (p. 430) de la surface jmlaire.

453. A Tétude des développées se rattache une intéressante question de minimum. Soit ^Tq, yo» ^o» "^ point P de Tespace; sa distance / au point M(j::, y, z) de la courbe gauche sera minimum, si son carré

a une dérivée nulle, par rapport au paramètre t

Mais il faut, de plus, que la dérivée seconde

soit positive.

L'équation (75) exprime que le point M est le pied d'une normale issue de P. Supposons que, M restant fixe, le point P parcourt la normale en M, en partant du point M. Les binômes x — jtq» // — yo? ^ — ^O' commencent* par être très petits, et la dérivée seconde d/"(/) commence par être positive : MP est donc minimum. Puis le point P, s'éloignant

dans la direction de l'axe de courbure, la fonction 6' {/) s annule au moment où le point P est sur Taxe de courbure, ou, ce qui revient au môme, au moment où P est au point de contact C de la normale avec sa développée, à' {i) devient ensuite négative, et MP est un maximum au lieu d'être un minimum.

Mais il est essentiel de remarquer que le minimum, dont il vient d'être question, est un minimum relatif, c'est-à-dire par comparaison avec les chemins voisins. On peut môme démontrer que la distance MP a cessé d'être un minimum absolu, avant que le point M ne soit arrivé au point C. Soit, en effet, une seconde normale M'C touchant la même développée au point C. Il résulte des propriétés de la développée qu'on a

MC = M'C + arc ce ; donc

MC > M'C + corde CC.

Gomment la distance MP a-t-elle donc pu cesser d'être minimum? Cala n'a pu se produire évidemment qu'à un moment où, du point P, on a pu mener à la courbe gauche deux normales égales. Il convient donc, dans ce problème, de faire intervenir en même temps que l'étude des développées celle des points d'où l'on peut mener h la courbe deux normales égales.

454. Un exemple éclaircira ce qui précède. Dans Tellipse, la normale en M rencontre l'axe en H, avant son point de contact C avec la développée. Or le lieu des points du plan d'où l'on peut mener à l'ellipse deux normales égales se compose des deux axes. Donc, lorsque P sera entre M et H, PM sera un minimum absolu; entre H et C, PM n'est plus le chemin le plus court; il n'est minimum que par rapport aux chemins infiniment voisins. Enfin, au-delà de C, PM n'est plus n^inimum par rapport h aucun chemin.

Des congruences

455. Lorsque les équations d'une courbe contiennent deux paramètres

on obtient, en faisant varier ces paramètres, une double infinité de courbes, dont Tenseiiible constitue ce qu'on appelle une congruence de courbes. Par un point de l'espace, il passe, en général, une ou un nombre limité de courbes de la congruence ; elles sont déterminées par les équations (76), où ./*, y, 2, ont reçu des valeurs données.

Mais il peut arriver que, pour certains points, les deux équations (7d) se réduisent à une, ou môme soient entièrement indéterminées; par exemple, dans la congruence des droites qui rencontrent deux courbes données, en un point P quelconque d'une de ces courbes, il y a une infinité de solutions : ce sont les génératrices du cône, de sommet P, qui contient Tautre courbe. Les cercles qui passent par deux points forment une congruence, telle qu'aux deux points il y a indétermination absolue.

Si les courbes de la congruence sont des lignes droites, la congruence est dite rectiligne, et lorsque, par tout point de Tespace, il passe une et une seule droite de la congruence, la congruence rectiligne est dite linéaire,

456. Dans le cas d'une congruence rectiligne et linéaire, en résolvant les équations (?()) par rapport aux deux paramètres, on peut évidemment les mettre sous la forme

P + aQ = o,

et Ton voit que toutes les droites de la congruence linéaire

H appuient sttr devs droites fixes^ savoir

P =: o, Q = o, et

P'=0, Q'irzO.

Il est évident, réciproquement, que toutes les droites qui rencontrent deux droites fixes, non situées dans un même plan, forment une congruence linéaire. On voit immédiatement que, dans tout plan, il existe une et une seule droile de la congruence, celle qui joint les traces des deux droites fixes sur le plan. Nous n'insisterons pas davantage sur les congruences linéaires qui ont été Tobjet d'une étude méthodique, publiée par M. Fouret, à la suite de la traduction de la Géométrie du motiveynent du D"" Schœnflies .

457. Revenons aux congruences rectilignes quelconques. Si Ton établit une relation entre les paramètres a et //, les droites correspondantes décrivent une surface, qu'on appelle une surface de la congruence. Nous allons démontrer que toutes les surfaces de la congruence, qui contiennent une môme droite de la congruence, se touchent en deux points de cette droite.

Soient en effet