X :=2 7.Z -\- Xq I
les équations d'une des droites, a, otq, g, y^, dépendant des paramètres a et />; de plus
L'équation différentielle de la surface engendrée s'obtiendra en différentiant les équations (77)
et en éliminant da. Le plan tangent à la surface s'obtiendra en remplaçant dx^ dy^ dz, par X — x, Y — y, Z — z. On trouve ainsi
X — ji^ — tt(Z — z) Y-y-p(Z-.-)
rfa r/i , "I (f.c„ r/x„ , . .
(fa "^ (fb
da^ dh^ ^ ^y da ^ db ^ ^^^
Le second membre sera indépendant de 9' (a), si
f/ff "^ rfg ^ </^ "^ £f 6
Cette équation, du second degré en 2, détermine, sur la droite de la congruence, deux points F et F,, où se touchent toutes les surfaces de la congruence. On les appelle points focaux ou foyers de la droite. Les plans tangents en ces points, donnés par Téquation (78), où 2, r, y, sont déterminais par les équations (79) et (77), sont les plans focaux.
458. On retrouve les mômes résultats autrement. Cherchons la condition pour que les droites (77) aient une enveloppe. La formule (49) devient ici
équation du second degré homogène en da^ db^ d'où Ton tirera
On démontrera, dans le second tome, que chacune de ces équations détermine une fonction h de a, satisfaisant à la condition de prendre une valeur donnée pour une valeur
donnée de a, c'est-à-dire de correspondre à une droite donnée. Donc toute droite de la congruence peut, de deux manières différentes, se déplacer de manière à décrire une déveJop- . pable; les surfaces, ainsi obtenues, sont les developpables de la congruence. Elles se groupent en deux familles, suivant qu'on 'part de Tune ou Tautre des équations (81).
Considérons une des développables : son arête de rebroussement touchera la droite génératrice en un point A; je dis que ce point sera un des deux foyers, F ou F,. En effet, on a vu, n** 427, que le z du point A est donné par l'équation
^ da 4- '^ db ^= — -7^=: j -j , 8:^)
et il suffit de remplacer z par cette valeur dans l'équation (^79), pour constater qu'elle se réduit à l'équation (80), qui est vérifiée par hypothèse.
459. D'ailleurs, on peut 1res bien se rendre compte géométriquement de ce qui vient d'être établi. Définissons d'abord la sftrface focale de la congruence : c'est le lieu des foyers, ou encore des arêtes de rebroiissement des développables. 11 y a bien, en apparence, deux nappes de cette surface» focale, correspondant aux deux équations ^81); mais il est évident qu'au point de vue analytique ces deux nappes se réunissent pour former une seule surface.
Cela posé, les droites sont toutes tangentes à ces deux nappes. Considérons une de ces droites D, et déplaçons-la de manière qu'elle reste tangente, en F, à l'arête de^broussement, qui décrit la première nappe S; elle touchera aussi la seconde nappe S^ en F^. Le lieu de F, sur S| sera une certaine courbe non tangente à D; le plan tangent à la développable, le long de D, sera donc confondu avec le plan tangent à Sj en F,.
Une surface S quelconque de la congruence, passant par D, touchera S, en F,, puisque la droite qui engendre S
reste tangente à S|. Toutes les surfaces 2 se toucheront donc en F^; de même en F.
Congruences de normales
460. Les normales à une surface donnée forment une congruence ; car une normale est déterminée par son pied, dont les coordonnées dépendent de deux paramètres.
Les congruences de normales jouissent d'une propriété remarquable : pour chaque normale^ les plans focaux sont perpendiculaires. Soient en effet (n^* 403)
les équations d'une normale. La condition, pour que cette droite engendre une surface développable, est (47)
ou
dx — p — dp
^y — ^ — dq dz i 0
dx -\- pdz dy -\- qdz
dp
dq
ou, comme
dz ■= pdx -\~ qdy^ dp = rdx -{- sdy^ dq = sdx -|- ^c?y, [s(i + p^) —pqr] dx^ + [^(i + p^) — r (i + q^)] dxdy
+ [Pqi — « (i + 9^]] dy^ = o. (84)
Supposons les axes choisis de manière que la normale considérée coïncide avec oz, et le plan tangent à xoy ; on a alors
x = y=zz = o, p = q=:o,
et l'équation (84) se réduit à
sdx'^ -\- {t — r) dxdy — sdy- = o,
CALCUL LNFUITÉSIMAL. HO
466 CHAPITRE XVin
OU en divisant par dx^
Cette équation définit deux directions dans le plan xoy\ ces deux directions sont rectangulaires, et, comme elles forment le rectiligne du dièdre des plans focaux, le théorème est démontré.
461. Nous allons montrer que la propriété précédente caractérise bien les congruences de normales. Pour cela, il faut déterminer à quelles conditions une congruence rectiligne quelconque peut devenir une congruence de normales.
Il faut et il suffit qu'un point de la droite donnée (77) puisse décrire une surface trajectoire orthogonale ; autrement dit qu'on puisse déterminer, en fonction des paramètres arbitraires a et é, les coordonnées d'un point de la droite, de manière que
ddx -f- ^dy -|- yû^^ = o,
ou, en tirant x ^i y des équations (77), que
Effectuons le changement de variables
nous obtenons la nouvelle équation
,rfa-„ + Ky« , (83)
Supposons, pour simplifier l'écriture, que les paramètres indépendants sont précisément Xq et y^; le second membre de (85) ne pourra être une différentielle exacte que si
— * — A. P /OCX
''yo Va* -I- P* + 1 rfa-'o V«* + P* + *
Telle est la condition cherchée. Elle n'est pas vérifiée identiquement, ce qui montre, de nouveau, que des droites remplissant l'espace suivant une loi arbitraire n'ont pas de surface orthogonale. Mais, si Ton a trouvé des fonctions satisfaisant à la condition (86), Téquation [85) déterminera, à une constante près, une fonction p et, par suite, s, et un point de la droite (77) décrivant une surface normale. La condition est donc nécessaire et suflisante. Elle exprime, comme nous allons le vérifier, que les deux plans focaux sont rectangulaires.
D'abord, pour que la droite donnée ait une enveloppe, il faut et il suffit (n" 427) que
rfar^rfp — dy^dx = o, (87)
ou que
rL'-oY i!? . /'ii ^Vi£. i!l ^ o (88)
(^ela posé, un plan passant par la droite, qui a pour équation
.r — xz — .i'o — l{!/—pz — 2/„) = o (89)
sera focal, s'il contient le point infiniment voisin x -+- dx. y -H rfy, z -h ^/«, ce qui donne la condition
cdx + dx^ — l(zd^ 4- ^^!/o) '- 0, d'où Ton tire
'* ~ :id^ -f- dy^'
ou, en tenant compte de (87),
dx Dans cette équation, y-^ est une racine de (88). Soient
donc X et X' les deux racines de (88) ; les deux plans focaux
correspondants seront perpendiculaires si
1 f. ir + (a — PX) (a — pV) = O.
L'équation (88) fournit immédiatement les valeurs de XX' et de X + X'; en les portant dans la dernière égalité, on retrouve la condition (86). Il est donc démontré que la propriété des congruences de normales, d'avoir leurs plans focaux rectangulaires, est bien caractéristique.
46^. Considérons la surface focale d'une congruence de normales ; elle se compose de deux nappes S et Sj. Les arêtes de rebroussement d'une des familles de développables de la congruence seront sur la première nappe S; celles de l'autre famille sur la deuxième nappe Sj. Le plan focal au foyer F, situé sur S, se confond avec le plan tangent en Sj, et le second plan focal est le plan tangent en F à S; mais, comme ces deux plans sont rectangulaires, le premier est normal à S, et comme il est le plan osculateur en F de Tarôte de rebroussement tracée sur S, cette arôte est une ligne géodésique de S. Ainsi les arêtes de rebroussement des dt^veloppables (rune congruence de normales sont des /ignés géodésiques de la surface focale.
Réciproquement, supposons tracée sur une surface quelconque une famille de lignes géodésiques. Les tangentes de ces courbes forment une congruence. Je dis que cette congruence est une congruence de normales. En eflFet les plans focaux d'une tangente sont évidemment le plan tangent à la surface et le plan osculateur de la ligne géodésiquo, et ces deux plans sont rectangulaires par définition.
463. Les congruences reclilignes, comme d'ailleurs les congruences quelconques dont nous dirons plus loin quelques mots, ont été l'objet de nombreux travaux exposés dans les remarquables Leçons de M. Darboux sur la géométrie des surfaces, auxquelles nous ne pouvons que renvoyer le lecteur. Nous emprunterons cependant encore à cet auteur la démons-
tration d'un célèbre théorème dû aux efforts combinés de Malus, Dupin, Gergonne et Quételet.
En voici l'énoncé : Si des rayons luminetix sont normaux à une surface, ils ne cessent pas de conserver cette propriété après un nombre (juelconque de réflexions et de réfractions.
Démontrons d'abord un lemme : Soient
les équations d'une droite de la congruence, et i/, r, w ses cosinus directeurs.
En posant dans l'égalité (85),
P = V y/gi + p-i + i, 1 = iovV^ + p'^ + 1,
on voit que le théorème fondamental de cette théorie peut s'énoncer ainsi : « Pour que les droites (90) soient normales à une même surface S, il faut et il suffit que
udx -f- vdi/ -f- tcdz^
soit la différentielle exacte d'une fonction des deux variables dont dépend la congruence. x, y, z sont les coordonnées du pied de la normale sur la surface S. »
Cela posé, sur le rayon incident, portons une longueur MA = 1 et, sur le rayon réfracté, une longueur MB = n, n désignant l'indice fie réfraction. La loi de Descartes consiste en ce que la résultante géométrique MC des deux vecteurs MA et MB est normale à la surface
FiG. 41,
470 CHAPITRE XVIIl
dirimanie ; en effet, dans le triangle MB(-, on a
BC MB
sinBMC""sinMCB' ou
sin i = n sin r.
Si Ton appelle / la longueur MG, a, g, y» ''' ^» *^» '' » ^' » "' ' les cosinus directeurs de la normale à la surface, du rayon incident et du rayon réfléchi, le théorème des projections appliqué au parallélogramme AMBC donnera
pr , MC = pr . MB -f pr . MA,
c'est-à-dire
Xa =: nti' -f- tt, Xp = nv -j- Vj \y =z mr'-f- te.
Or, pour tout déplacement du point M (^, y, :;) sur la surface dirimante, on a
ce qui peut s'écrire, en éliminant a, p, y ^^ moyen des équations précédentes,
ndœ -\- vdy -f- xodz = — n [udx -|- rWy -f- tcdz).
Si les rayons incidents sont normaux à une surface, il résulte du lemme que le premier membre de cette égalité sera une différentielle exacte; il en sera donc de môme du second, ce qui démontre le théorème.
Le cas de la réflexion s obtient en faisant /« = — 1 .
Congrucnces de courbes
46^, On peut étendre aux congruences de courbes les considérations que nous avons développées relativement aux congruences rectilignes .
Soient
les équations d'une courbe de la congruence. Définissons une surface de la congruence par la relation
Le plan tangent à cette surface en un point x, y, z^ sera défini par Téquation, analogue à (78) :
On peut remarquer en passant que cette équation contient implicitement le théorème suivant : Si Fort considère quatre surfaces quelconques contenant une même courbe de la congruence, le rapport anharmonique des plans tangents à ces surfaces en un point quelconque de la courbe demeure constant quand le point se déplace sur la courbe.
Mais Téquation du plan tangent conduit, au point de vue où nous nous sommes placés, à une conséquence bien plus importante. En effet ce plan tangent devient indépendant de F' [a], et toutes les surfaces de la congruence qui passent par la courbe considérée sont tangentes entre elles aux points de la courbe pour lesquels on a
Dg Dô
ou
Ces points sont dits les points focaux, et le lieu de ces points est la surface focale de la congruence.
465. On retrouve les points focaux en cherchant à assembler les courbes de la congruence, de manière qu'elles aient une enveloppe. En effet le point do contact d'une courbe avec son enveloppe doit satisfaire aux équations de la courbe
/'—<>, <p = o et à ses dérivées par rapport à a
:>a ^ ?6 da ~ ' Da ^ J* da~
L'élimination de -ir conduit de nouveau à Téquation (92).
On voit ainsi que les points focaux sont les points de contact des courbes de la congruence avec leur enveloppe, dans les diflFérents modes de déplacement où ces courbes ont effectivement une enveloppe. Chaque point focal de la courbe décrit une nappe de la surface focale, et l'on voit, par un raisonnement identique à ceux que nous avons déjà faits dans la théorie des enveloppes, que cette surface focale a précisément pour plan tangent le plan tangent commun à toutes les surfaces de la congruence. En etTot, pour avoir ce plan tangent, il faudrait différenlier totalement les équations de la courbe donnée et (92), puis éliminer da et db ; mais il suffit de différentier les deux premières et d'éliminer da. db s'élimine d'elle-même en vertu de (92), et l'on retombe bien sur l'équation (91).
466. Si f{x, y, 5, a, b) est algébrique du degré m, 9 du premier degré, l'équation (92) est de degré m H- 1, et Ton voit que, dans une congruence de courbes planes d'ordre m, il y a en général sur chaque courbe m (w? + i ) points focaux.
Ainsi, dans les congruences rectilignes, il y a deux foyers sur chaque droite, dans les congruences de coniques six points focaux sur chaque conique, dans les congruences de cercles, qui admettent les points cycliques comme points focaux, quatre points focaux sur chaque cercle, etc. Nous donnerons, dans le chapitre suivant, l'extension aux
congrucnces quelconques de la propriété caractéristique des congruences de normales. Nous n'insisterons pas davantage sur ce sujet, renvoyant le lecteur à l'ouvrage de M. Darboux, pour Tétude des cas où quelques points focaux sont confondus, ainsi que pour T étude des congruences de cercles.
Des complexes
46T, Nous avons examiné successivement les systèmes de droites qui ne dépendent que d'un paramètre (génératrices d'une surface réglée), ceux qui dépendent de deux paramètres (congruences). Il nous reste à envisager ceux qui dépendent de trois paramètres et qui constituent ce qu'on appelle des complexes. Ici, par un point donné de l'espace, il passe encore une infinité de droites dont le lieu géométrique s'appelle le cône du complexe; le degré de ce cône, lorsqu'il est algébrique, est Vordre du complexe. De même, dans un plan donné, il y a encore une infinité de droites; ces droites enveloppent la courbe du complexe relative au plan. La classe de cette courbe est égale à l'ordre du complexe : en effet, soit P un point du plan ; le nombre des droites du complexe qui passent par ce point et qui sont dans le plan s'obtiendra soit en menant du point des tangentes à la courbe du complexe, soit en coupant par le plan le cône du complexe qui a son sommet au point P.
468. Pour étudier commodément les complexes, il est bon de mettre les équations de la droite sous une forme symétrique, considérée d'abord par Plûcker. Les trois plans
P^ — ry = a' j
passeront par une même droite D, si
aa' + pp' + yy' == 0. (94)
Les équations (93) sont celles de la droite D, et les six constantes a, 3, y^ « » l^^ T ^^^^ dites les coordonnées Pluckéviennes ou, plus simplement, les six coordonnées de la droite. A cause de (94) et parce qu'elles figurent dans toutes ces équations d'une manière homogène, elles se réduisent au fond à quatre, comme cela doit être.
469. Les droites D feront partie d'un complexe, s'il existe entre leurs coordonnées une relation homogène
Pour obtenir une surf ace du complexe^ il faudra joindre à la relation précédente deux nouvelles relations
fi =0, f^ = o.
Si l'équation (95) est algébrique, son degré sera égal à l'ordre du complexe. En effet, soient j*o, ^q^ ^q^ '^^ coordonnées d'un point M quelconque, on voit sans peine que l'équation du cône du complexe, qui a son sommet en M, s'obtient en remplaçant a, g, y? a' •••» parles quantités proportionnelles
L'équation du cône est du même degré que (95), ce qui démontre le théorème.
470. L'équation (95) permet d'établir très simplement une relation homographique entre les points d'une droite D du complexe et des plans passant par cette droite. Soit m un point de D; le cône du complexe qui a son sommet en m contient D, et nous prendrons le* plan P tangent à ce cône le long de D, comme correspondant km. La courbe du complexe située dans (P) touche évidemment D en m. Inversement, dans un plan (P) passant par D, il existe une courbe du complexe touchant D en un point m, et le cône du complexe qui a son sommet en m est évidemment tangent à (P).
le long de D. La correspondance homographique entre (P) et m est donc bien établie. Si Ion considère une origine fixe 0 sur D et si Ton pose om = p, si, d'autre part, on appelle 6 Tangle que fait avec un plan fixe passant par D le plan (P), la relation homographique sera de la forme
p tangO + aç -f ^ tang9 -(- c r= o, ou
(p + d) (tange + a) +c — ab =0, (97)
a, b, c sont des constantes qui dépendent de la position de D. Un cas singulier se présentera si
ab — c = o ;
cette nouvelle relation ajoutée à la relation (95) particularisera la droite et il y aura une congruence de pareilles droites. On les appelle les droites singulières du complexe. Sur ces droites, la relation (97) se réduit à
(p + *) (tango -\- a) = o.
On voit alors que, quel que soit p, Ô est constant; à tous les points d'une droite singulière, sauf au point p = — 6, correspond un plan fixe, qui est un plan singulier. Inversement, h tout plan passant parla droite singulière, sauf au plan singulier, correspond un seul point p = — A : c'est un point singulier. Les coordonnées du point singulier ne dépendent que de deux paramètres ; il y a donc une surface des singularités du complexe, lieu des points singuliers. De même les coefficients du plan singulier ne dépendent que de deux paramètres; ces plans enveloppent donc une nouvelle surface. Mais il se trouve que cette surface coïncide avec la première (Voir, pour la démonstration, la note déjà citée de M. Fouret, au n** 456). Cette surface est une des nappes de la surface focale de la congruence des droites singulières.
On peut encore remarquer que toutes les surfaces du complexe qui contiennent une droite singulière sont tangentes
476 CHAPITRE XVIlï
entre elles au point singulier de cette droite. Mais nous arrêterons ici ces considérations sur les complexes quelconques, renvoyant, pour plus de détails, à la note de M. Fouret, et nous terminerons par Texposé de quelques propriétés des complexes linéaires.
471. Complexes linéaires. — On appelle ainsi les complexes pour lesquels Téquation (95) est de premier degré :
Aot + Bp -j- Cy + AV + B'p' + CY = o. (98)
Le cône du complexe
A (a? — Xq) -I- ... + A' [zy^ — yz^) + ...'^ o (99)
est ici un plan qu'on appelle \q plan polaire du point.
Une discussion simple montre que ce plan est parfaitement déterminé pour tous les points de l'espace à moins que
AA' + BB' + ce r= 0. (100)
Dans ce cas exceptionnel, il existe une droite singulière, lieu des points dont le plan polaire est indéterminé ; le plan polaire de tout autre point est déterminé par ce point et par la droite singulière et le complexe, qu'on appelle dans c« cas complexe, spécial^ se compose de toutes les droites rencontrant la droite singulière.
Laissant les complexes spéciaux de côté, cherchons, dans les complexes linéaires quelconques, Tenveloppe des droites du complexe situées dans un plan quelconque. Celte enveloppe, étant de classe /??, se réduit à un point qu'on appelle le pôle ou le foyer du plan.
Considérons encore les droites du complexe qui rencontrent une droite L quelconque ne faisant pas partie du complexe. Tout plan passant par L aura un foyer non situé sur L, puisque L ne fait pas partie du complexe ; je dis que le lieu de ces foyers sera une droite L'. En effet soient F et F' deux foyers : un plan tt quelconque passant par FF' aura pour foyer son point /de rencontre avec L; car les droites /F et
/F' font partie du complexe. Mais alors, en joignant / à un point quelconque F'' de FF', on a encore une droite du complexe, et si Ton fait pivoter le plan or autour de FF', la droite fV décrira un plan quelconque passant par L et dont le foyer sera en F". Les deux droites L et L' qui contiennent chacune les foyers des plans passant par l'autre sont dites droites conjuguées.
4Tâ« La théorie des complexes a de nombreuses applir cations en mécanique. Ainsi, dans un système de forces appliquées à un corps solide, les droites de moment nul forment un complexe linéaire; dans le mouvement d'un solide, les droites normales aux trajectoires de tous leurs points font partie d'un complexe linéaire, etc.
Définitions
47i5. Les coordonnées d'un point quelconque d'une surface S dépendent de deux paramètres arbitraires qui peuvent ôtre, si Ton veut, deux de ces coordonnées. Pour plus de symétrie, nous ne fixerons pas, dès l'abord, ces deux paramètres, que nous désignerons par ies lettres u et r, et nous écrirons
Lorsqu'on voudra revenir à la forme ordinaire, il suffira de faire îi=:x, ?? = //; il en résultera que /^ devra être remplacée par .r, et/, par y. Nous poserons, pour abréger,
ces binômes devant se présenter fréquemment dans nos formules.
Si r = C*% les équations (1) définissent une courbe tracée sur la surface (S). Lorsqu'on fait varier r, on a une famille
de courbes. 11 y a, de même, sur la surface S, une famille de courbes a = C**. Ces deux familles découpent sur la surface un réseau (îi, r). Si Ton a en chaque point de la surface
:>u :>v ^ c^tt :>v ^ M ^v ~ ' ^^ ^
le réseau est orthogonal ; les tangentes aux deux courbes en chaque point se coupent à angle droit.
Une courbe quelconque, tracée sur la surface, s'obtiendra en joignant aux équations (1) une nouvelle équation entre n et V ; jr, y, c, deviennent alors fonctions d'un seul paramètre.
Plan tangent et normale
474. Il importe de savoir écrire, avec les notations actuelles, Téquation du plan langent. Pour cela, il suffira d'exprimer que le plan
qui passe déjà au point x, y, z, passe aux deux points infiniment voisins pris sur les courbes (ti) et (w), points qui ont pour coordonnées respectivement
^■+^dv, y + ^<h, ' + ^dv; on a ainsi les conditions
dv OV OV
480 CHAPITRE XïX
d'où, en éliminant /, m, n, et se servant des notations (2), A(X - .r) + B(Y - y) + C(^ - ^) = G. (4)
Les équations de la normale seront
Rappelons que, si j: et y sont prises comme variables indépendantes, les équations ci-dessus sont respectivement , pour le plan tangent,
et pour la normale
Réseaux conjugués
475. Lorsque les génératrices de la surface développable formée par les plans tangents le long d'une courbe n = C** sont les tangentes aux courbes v = C*% et lorsque cela a lieu en chaque point de la surface, le réseau (w, v) est dit conjugué ; on verra plus loin la raison de cette dénomination. Cherchons la condition pour qu*il en soit ainsi.
La caractéristique du plan tangent
A (X - aO + B (Y - y) + C (Z - ^) = G,
lorsque v varie, s'obtient en adjoignant à l'équation précédente sa dérivée, par rapport à v
La somme des trois derniers termes étant nulle identi-
quement, il reste, pour équations de la caractéristique,
^ A(X~aO + B(Y-y) + C(Z-^) = o,
Cette droite doit, par défini tiou, contenir le pointa: -}- -7- rfw,
y -H -^ r/w, s 4- -7-; ^/t;, ce qui donne deux conditions dont la première est identiquement vérifiée ; la seconde est
On vérifiera facilement que cette dernière condition peut s'écrire
Du
ht
du
ih-
DMDe?
DaD<?
DmD(?
Sous cette forme, on voit qu'il y a symétrie entre ?/ et ??, c'est-à-dire que les caractéristiques des plans tangents, le long des courbes v = C^% se trouvent, par la môme condition, tangentes aux courbes ti = G*'. Ce théorème est dû à Dupin.
Les réseaux qui sont en même temps conjugués et orthogonaux ont une importance capitale dans l'étude des surfaces.
476. On sait que, si un déterminant est nul, il existe une môme relation linéaire entre les éléments d'une colonne, quelle que soit la colonne. 11 existe donc, puisque le déterminant (9) est nul, deux fonctioas a et 3 de u et de v telles
CALCUL INFINITKSIM/IL.
que
