OU
oT
en d'autres termes, si le réseau [u^ v) est conjugué j les trois
coordormées (Tun point de la surface^ exprimées en fonction
de u et de i\ vérifient une même équation linéaire de la forme
^«6 , Dô , ^ DO
DwDt? ^IC ^ ^v
La réciproque est vraie ; car rélimination de a et de ^ entre les trois équations du système précédent donne l'équation (9).
A ce point de vue, la condition pour que le réseau soit en même temps orthogonal s'exprime aingi : la fonction
"^ ^ est aussi solution de la même équation linéaire.
En effet, en substituant, dans l'équation aux dérivées par-
tielles précédente, ' — » et en tenant compte de ce
que X, y, z, vérifient cette équation, on trouve
D.r ^x , Dv Dv ^z ^z
Dw Dv Dw Dv Dm Di? '
c'est bien Téquation (3) qui exprime Torthogonalité des tangentes aux courbes u = C'% v = C*.
Élément d'arc d'une courbe tracée sur la surface (S)
477. La distance de deux points infiniment voisins pris sur la surface s'obtient par la formule
dans laquelle il suffit de remplacer .r, y, z, par leurs valeurs tirées de (1). On obtient ainsi, en posant avec Gauss,
^x i^œ , ^y ^v ^z ^z \ eu iv iu ov ou vu I
rfs» = Eclu^ -f- 2Fdu(lv + Grfo*.
On peut obtenir une autre expression de ds^ par des considérations géométriques : soient MN, MP, deux courbes (w) et (v) se coupant en M sous Tangle a. Soient encore MM'=Arfi/, MM" = Cdv, les éléments d'arcs des courbes (u) et (v), M'M' = rf.s, un élément de courbe quelconque infiniment voisin de M. On peut, aux infiniment petits du troisième ordre près, assimiler le triangle MM'M" à un triangle rectiligne et écrire
Fio. 42.
ou
MM"' = MM'* 4- MM''' — 2MM' . MM" cos a,
ds^ = A^du^ 4- Chlv^ — 2AC cos a dudv. (11')
C'est, avec d'autres notations, la formule (H); du rappro-
ri
' chement des formules (il) et (11), on déduit immédiatement*
A« = E, C» :r^ G, cosx = — -iL, (12l
VEG
qui montre bien que Tangle a est droit lorsque la condition d*orthogonalité du réseau (u, r) est remplie.
Courbure des courbes tracées sur les surfaees : Théorèmes de Meusnier et d'Eufer
478. Dans ce paragraphe et dans les deux suivants, nous étudierons la courbure des courbes tracées sur les surfaces.
Soit M un point quelconque d'une lijçne I. tracée sur la surface (S); tout plan passant en M coupe la surface suivant une section qui est dite normale ou oblique selon que ce plan contient, ou non, la normale en M à (S . Un premier théorème, dû à Meusnier, ram^^ne Tétude de la courbure de Là celle de la section normale qui a même tangente que L au point M.
Nous partirons de la formule, donnée dans le chapitre précédent (n" 418),
dans laquelle D représente la distance d'un point M' à la tangente au point M infiniment voisin sur la courbe ; ds = MM'. On en tire pour le rayon do courbure p
Il en résulte immédiatement qu'une courbe quelconque a la môme courbure que la section faite dans la surface par
1 II importe de ne pas confondre les A et C actuels avec les lettres A. B, G, définies au n* 473 ; ces dernières sont telles que
A^ -f B2 i C« = EG — F*.
son plan osculateur puisque ce plan est déterminé par la tangente en M et par le point M'.
Pour continuer, nous particulariserons les axes, et nous prendrons pour plan des j:, y, le plan tangent en M, pour axe des z, la normale en M. En supposant que ^ et y sont les variables indépendantes, et que z peut se développer en série suivant la formule de Maclaurin, Téquation de la surface se présentera sous la forme ^
z := I («a;2 + ^.hxy + cy2) + R [x, y), (13)
R(j7, y) contenant des termes qui seront, au moins, du troisième degré en j: et y. Abaissons du point M'^la perpendiculaire MT, sur la tangente en M, et la perpendiculaire Mm' = z sur le plan langent en M ; ces deux droites font entre elles langle y égal à Tangle du plan osculateur de la courbe avec le plan de la section normale, qui contient la même tangente MT. On a d'une part
MM'" = ,r'^ + y^ + 2"-^ ou x^ + y^
en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second. D'autre part
