MT
1 iax'^ -f ^bxy 4- gy^).
eos Y 2 cos y
11 en résulte pour p la valeur
P — ^ax'i + Vxy + cy') ^^^'^'
Mais ni est à une distance de P infiniment petite du second ordre, et la direction Mm' se confond avec celle de la
< 11 résulte de ces hypothèses que la théorie exposée dans ce numéro, pas plus d'ailleurs que les résultats obtenus jusqu'au n* 296, ne s'appliqueront aux surfaces qui ne remplissent pas les conditions énoncées, telles, par exemple, que
ou
3 = {.r-i-f .y2)/'(.Zy
laiigeule MT, à la limite, c'est-à-dire que, si Ton appelle 5 Tangle de MT avec oj:, on aura
3/ = 0? tang (p ; d'où
a cos'* <p -|- s6 sm ^ ces ^ + c sin* <p
Appelons pQ le rayon de courbure de la section normale qui correspond à y = o, on aura
^® a cos^ çp -f- 26 sin ^ cos «p + c sin^ cp et
p = PoCosY. (15)
Donc, le centre de courbure en un point que/conçue (Tune courbe tracée sur la surface s'obtient en projetant^ sur son plan osculateia\ le centre de courbure de la section normale qui a la niênie tangente au point considéré.
On peut encore dire : Si l'on fait pivoter un plan autour d'une tangente à la surface^ le lieu des cercles de courbure des sections faites par le plan dans la surface est une sphère qui a pour grand cercle le cercle de courbure de la section normale.
Ou encore : Si l'on fait pivoter un plan autour d'une tangente à la surface, les axes de courbure des sections faites par ce plan dans la surface vont rencontrer la normale à la surface en un même points qui est le centre de courbure de la section normale.
Ces divers énoncés sont des formes différentes du théorème de Meusnier.
479. Le théorème d'Euler permet enfin de ramener Tétude des courbures des sections normales à celle des courbures de deux d'entre elles.
Remarquons d'abord que la formule (14) peut être simplifiée par uu changement d'axes. Si l'on fait tourner les axes ojc, oy, dans leur plan, d'un angle a, et si Ton pose
on pourra toujours déterminer a de manière que la nouvelle expression de p^ ne contienne plus de terme en sin ^ cos ^, et se présente sous la forme
P^'^Acos-^-H-Csin^tj;* ^^^^
Il suffira pour cela de poser
tangf t% = 5
ce qui détermine pour Tangle a deux directions perpendiculaires entre elles.
Cela posé, écrivons
^^ "= A + (C-A)8in2^;' (^'^^
Lorsque ^ varie de o à tu, la variation de po est facile à suivre : deux plans symétriques, par rapport aux plans de coordonnées, donnent la même valeur pour pQ-, il y aura un maximum et un minimum entre lesquels, ou en dehors desquels, suivant les cas, seront comprises toutes les valeurs de Po-
Si A et C sont de même signe, pQ variera entre le maximum et le minimum, R et R,, qu'on atteindra, pour «^ = o
et pour ^ = -^
et le rayon de courbure ne deviendra jamais infini. La surface est dans le voisinage du point M tout entière du m^me côté de son plan tangent.
Si A et G sont de signes contraires, pj variera du maximum jusqu'à — 00, et de -+- oo jusqu'au minimum ; le maximum et le minimum seront d'ailleurs toujours donnés par les formules (18); Le rayon de courbure sera infini, et la section normale présentera un point d'inQexion au point M,
pour les valeurs de <]; données par Téquaiion
tang .| = ± y/-| zzz =h y/- ^, (19)
ce qui donne deux directions symétriques, par rapport aux axes. Ces deux directions sont les tangentes à la section de la surface par son plan tangent; en effet, après le changement de coordonnées que nous avons effectué dans le plan des jry, Téquation (13) de la surface (S) est devenue
