AX^ + CY-^) + R'(X,Y

R'(X, Y) étant une série dans laquelle les termes sont au moins du troisième degré en X et Y;, si Ton y fait z = o, on obtient Téquation de la section par le plan tangent, qui a pour tangentes à Torigiue les deux droites

AX^ + CY'^ = o.

Ce sont bien les droites définies par Téquation (19).

Dans le cas actuel, toutes les sections normales, comprises dans deux angles opposés par le sommet formés par les droites précédentes, tournent leur courbure, dans le voisinage de M, d'un même côté, par exemple, vers les z positifs ; les sections normales comprises dans les deux autres angles tournent leur courbure vers les z négatifs, et la surface traverse son plan tangent. On dit, dans ce cas, qu*elle est à co7(r bures opposées.

Dans tous les cas, les rayons de courbure maximum et minimum sont dits rayons de courbure principaux de la surface, les sections normales qui les donnent, sections principales^ et, en introduisant ces rayons de courbure principaux dans la formule (16), elle prend la forme élégante

1 cosM/ sinH

:~ — "~"d~ + "iT"' (2t))

qui est due à Euler.

Nous signalerons deux cas particuliers : 1"* A = C ou

Dans ce cas po = ï^ constamment, le point M prend le nom à^ ombilic.

2"* AC = o. Dans ce cas, il n'y a plus qu'un maximum (ou un minimum) et qu'un rayon de courbure infini, qui est maximum (ou minimum). Le point de la surfaci' osl dit point parabolique,

480. La connaissance des cenlres de courbure principaux permet d'élucider un problème de maximum, dont il a déjà été parlé.

Soit P un point de la normale Mz à la surface (S); cherchons le point ./•, y, z, de la surface, le plus rapproché ou le plus éloigné de P. Si Z désigne le segment MP, on aura, les coordonnées ayant toujours M pour origine,

T = MP^ r=i a?-* +• y' + (Z — z\\

et, pour que T spit un minimum, il est nécessaire que ses dérivées, par rapporta x et y, soient nulles

ou, en négligeant z infiniment petit devant Z,

y — qL= o.

Comme p q\ q sont nuls à l'origine, il en résulte .r = o,

Il faut, de plus, que Ton ait

(Ti.,> - t;«t;. < o.

Si Ton suppose les tangentes aux sections principales prises pour axes des x et des y, 5 = o à l'origine, et Tinégalité précédente s'écrit

— (l — rZi (4 — t7.) < o.

OU encore en introduisant les rayons de courbure qui sont donnés par les formules

où r et / ont leurs valeurs à Torigine des coordonnées

Deux cas sont donc à considérer :

V La surface est convexe en M

RR^ > o.

La condition précédente exprime que le point P ne doit pas être compris entre les centres de courbure principaux. Ainsi si Ton suppose le point P partant de M vers les centres de courbure principaux, sa distance au point M sera d'abord minimum, parmi toutes les distances aux points infiniment voisins de IVt; lorsque P se trouve entre les deux centres de courbure principaux, MP est plus grand que certaines distances voisines, et plus petit que d'autres ; en d'autres termes, la sphère de centre P et de rayon PM traverse la surface (S) en M, qui est un point double de Tintersection. Enfin, lorsque le point P a dépassé le second centre de courbure principal, PiM est maximum parmi les droites qui vont de P aux points voisins de M. Sur la portion de normale située de l'autre côté du point M, par rapport aux centres de courbure, PM est minimum en valeur absolue.

2* La surface est à courbures opposées

RR< < o.

Les résultats sont renversés, et la distance MP n'est un minimum que si P est compris entre les centres de courbure principaux.

481. Il résulte du paragraphe précédent un moyen de déterminer les rayons de courbure principaux, les axes de coordonnées étant quelconques (nous les supposerons seulement rectangulaires) .

Soient z, y, z, les coordonnées du point M, et X, Y, Z, celles du point P

MP' = T = (X — a:)2 -f. (Y — vY + (Z — 2^, Pour qu*il y ait maximum, il faut que

ce qui exprime que P est sur la normale en M ; il faut de plus que l'on ait

(Ti^)2 - T^TJ2 < o, (22)

et Téquation aux centres de courbure principaux sera, à cause de Tinvariance évidente du binôme précédent,

-Ti =pgr— 5(Z — ^),

Donc l'équation, qui donne les Z des centres de courbure principaux, sera

(Ti^)^ - Ti^TJ^ =--= (s^ - ri) (Z - zy \

- [2;.^. - ^ (1 + P') - ni + q')] (7^ ~ ^) • (24)

Si l'oQ tient compte des équations (21), l'on a