T MP

Véquation aux rayons de courbure principaux s'écrira donc

(«2 ri) MP^ + [(1 +p2, ^ ^- (l + ^2) ;. __ 2p^^] yjij^p^j^ qm?

Nous donnerons plus loin une seconde méthode pour former cette équation. Mais nous remarquerons immédiatement que, si le point est parabolique, on doit avoir .s-2 — ri = o. Cette équation, jointe à celle de la surface, donne la ligne des points paraboliques.

4HI2. II est possible de déterminer les directions principales en s'appuyant sur ce qui précède. En effet, la sphère de centre P et de rayon PM coupe la surface, avons-nous dit, suivant une courbe qui a, en M, un point double à tangentes distinctes, réelles ou imaginaires. Ces tangentes s'obtiendraient de la manière suivante : écrivons T(j:, y) la fonction que nous avons jusqu'à présent désignée par la lettre T, et développons-la par la formule de Taylor

T/> + h,y+/i) =:T{x, y) + hTJ, -f- AT;

+ l (/^'Tiï+ 2MT;^ + k^l'y^) -h ...

S'il y a maximum ou minimum, T^ = o, T^ = o, et la différence ^{x -H A, y + k) — (T./, y) a le signe de

saut pour les deux directions obtenues, en égalant à zéro

LIGiNES TRACÉES SL1« LES SUIlTACKS 403

cette dernière parenthèse. Ce sont les directions suivant lesquelles il faut s'éloigner dans le plan tangent pour que la distance MP ne soit ni maximum, ni minimum, par rapport aux distances voisines. Ces directions sont, en général, distinctes; mais si Féquation (23) est vérifiée, c'est-à-dire si le point P est en un des centres de courbure principaux, ces directions se confondent avec une des tangentes aux sections principales. La parenthèse qui vient d'être considérée étant un carré parfait, on a dans ce cas

hT^. + /.t;,, = o, c'est-à-dire

[1 -|- p^ — r (Z — ^)j fil- -{-[pq — s ÇA — z)] dy = o.

En tirant Z — :; de cette équation, et portant dans Féquation (24), on aura une équation homogène du second degré en dx^ dy, qui donnera dans le plan tangent les directions principales. On trouve ainsi, après suppression du facteur (1 +;>^) !i—pqr,

[{1 + p2) 5 pqr] dx" -f- 1(1 + p2) ^ — ^1 + q^) r] d^dy

Indicatrice

41)3. Des considérations ingénieuses, dues k Dupin, permettent de synthétiser les résultats précédents et d'en présenter de nouveaux sous une forme simple. Coupons la surface par un plan parallèle au plan tangent en M et infiniment voisin de ce plan. La section s'obtiendra en faisant z = A dans Féquation (13); on trouve ainsi, en négligeant les termes du troisième ordre,

h=\\ax^ ^ ^bxy + cy^). (27 )

Cette courbe est une conique; rapportons-la à ses axes en faisant tourner les axes do coordonnées de 1 angle a, déjà défini plus haut par la formule (n* 477)

tang2a = —

a — c L^équation devient

h = AX^ + CY^,

les coefficients ayant les mômes valeurs que dans les paragraphes précédents. La conique homothéiîque de la précédente, située dans le plan tangent en M, et qui a pour équation