AX« 4- CY

s'appelle V indicatrice de Dupin, On voit déjà que ses axes coïncident avec les tangentes des sections principales et qu'elle sera une ellipse dans le cas d'une surface convexe, une hyperbole dans le cas d'une surface à courbures opposées. L'indicatrice devient un cercle aux ombilics; elle dégénère en deux droites parallèles, symétriques par rapport au point M, pour un point parabolique.

Le signe ambigu, qui figure dans le premier membre, permet de s'arranger de manière à avoir toujours une courbe réelle, si la surface est réelle, c'est-à-dire si la surface admet, dans le voisinage du point M, des sections réelles. On peut, par exemple, convenir de toujours donner au premier membre le signe de A. Soit A positif; nous écrirons donc .

1 z= AX2 + CY=. (28)

Prenons maintenant des coordonnées polaires, le pôle étant en M, et Taxe polaire confondu avec MX. Il faut poser

X = X cosv|/, Y = X sin ']/,

ce qui donne, pour le rayon vecteur X,

X*rzr

A cos^'l + C sin*'|

En rapprochant cette équation de Téquation (16), on voit que les rayons de courbure des sections normales sont proportionnels aux carrés des diamètres déterminés par les traces de leurs plans dans l'indicatrice. La variation de ces rayons de courbure en résulte immédiatement. Dans le cas de Tellipse, le rayon de courbure maximum est celui de la section tangente au grand axe de Tindicatrice; le rayon minimum correspond au petit axe. Si l'indicatrice est une hyperbole, il faut, pour les sections normales qui ne rencontreraient pas cette courbe, la remplacer par Thyperbole conjuguée.

484. La propriété précédente de l'indicatrice peut être établie par les considérations géométriques très simples qui suivent. Soit MN la normale en M à (S), MM'A une section

FiG. 43.

normale, MM'N le cercle qui a pour limite le cercle osculateur, M'H la perpendiculaire à MN menée par le point M' infiniment voisin de M. M'H est un rayon de Tindicatrice. Or, dans le cercle MM'H, on a

On en tire

M'H' = MH X HM = A (2p — A)

496 CHAPITRE XÏX

OU, aux infiniment petits du premier ordre près,

Le rayon de courbure pQ est donc proportionnel à M'H-. 485* Soient deux sections normales correspondant à deux

directions rectangulaires ^ ci f^ -i- ^5 les diamètres X et X' de

rindicatrice, ou les rayons de courbure de p^ et p^ de ces sections, vérifieront la relation

X* + X'»-p„ + pi-'^ + '--H + R,"

On appelle courbure moyenne A'wnc surface en un point, la demi-somme de ses courbures principales. L'égalité précédente peut donc s'énoncer ainsi : La demi-somme des courbures de^ deux sections normales dont les plans soîit perpendiculaires entre eux est constante et égale à la courbure moyenne de la surface au point considéré.

Posons

il résulte do Téquation (25) que la courbure moyenne a pour expression, en fonction d> et d y,

480. Théorème. — Les tangentes en un point à deux courbes d'un réseau conjugué sont deux diamètres conjugués de rindicatrice de Dupin,

Pour le démontrer, supposons toujours l'origine des coordonnées en M, et prenons pour axes obliques des coordonnées dans le plan des :r, g les tangentes à deux courbes d'un réseau conjugué, Taxe des z restant quelconque. On a, au

point M,

L'équation du plan tangent en un point {x, y, z) iniiniment voisin de M, qui serait en général

Z -^ Z =: {p +dp) {\ ^ X) +{q + dq) (Y - y) ,

se réduit ici, si Ion prend le point sur la courbe tangente à oy [x = o, s = o), k

en tenant compte de ce que

dp = rx -|- «y, dq = SX -\- ty.

Par définition des réseaux conjugués et à cause de notre

choix des axes, ce plan doit contenir ox, ce qui exige qu'on

ait, au point IVl,

sy= o,

et comme y n est pas nul,

or cette condition exprimée dans Téquation (13)

^==\{ax^ + ^bxy+ cy») + ...

conduit h

L'indicatrice a alors pour équation

c'est bien la forme que prend l'équation d'une conique rapportée à deux diamètres conjugués.

Ce théorème a reçu le nom de théorème défi tangentes con-

CALCIL L\FIMTI^8IMAL. 32

498 chapitre: xix

jitguées; il a une importance capitale dans VArt du irait, car il permet de construire les tangentes aux courbes d'ombre ou de perspective, c'est-à-dire à la ligne de contact L d'une surface (S) et du cône ayant pour sommet le point lumineux ou le point de vue. Ce cône est la surface développable circonscrile k la surface (S) suivant la courbe L; la tangente à la courbe L en un quelconque M de ses points est donc le diamètre conjugué du rayon lumineux ou du rayon visuel correspondant par rapport à Tindicatrice au point M de la surface (S).

486 bis. Voici une autre proposition qui trouve aussi s(m application en Géométrie descriptive, et dont le théorème des tangentes conjuguées est une conséquence immédiate.

Lorsqiir deux surfaces (S) et (S, j se louchent en un point M, leur ligne d'intersection L a pour tangentes en ce point les diantf'tres communs aux indvatrices des deux surfaces.

En effet, soit MZ la normale commune en M, M' un point de L infiniment voisin de M et P la projection de M' sur le' plan tangent en M. Le plar ZMP donne dans les deux surfaces deux sections normales dont les rayons de courbure différent Tun et Tautre infiniment peu de