mm

A la limite, lorsque M' tend vers M, MP devient la tangente inconnue MT, et Ton voit que les sections par le plan normal ZMT ont la môme* courbure au point M, La droite MT rencontre donc les deux indicatrices aux mêmes points; cette tangente est donc un diamètre commun aux deux indicatrices. Comme il y a deux diamètres communs, on voit que la ligne d'intersection L a un point double au point M.

En particulier, si Tune (S) des surfaces est développable, son indicatrice consiste en deux droites parallèles symétriques par rapport au point M, et tangentes à Tindicalrice

de Taulre surface (S^). Les diamètres communs aux deux indicatrices se confondent donc avec la corde de contact, et Ton tombe sur le théorème des tangentes conjuguées qui se trouve ainsi démontré géométriquement.

Enfin, dans lo cas plus particulier encore où Tune (S) des deux surfaces est un plan P, son indicatrice est la droite à l'infini et par suite le.K tangentes à la ligne (Tintersection de la surface (S|) et de son plan langent P sont les asymptotes de r indicatrice de la surface (Sj). Ce résultat a déjà été trouvé sous une autre forme, à la page 488.

Des lignes de courbure

4HT. On appelle ligne de courbure d'une surface une ligne le long de laquelle les normales à la surface forment une surface déveîoppable. Cette définition a besoin d'être expliquée : les normales à une surface forment une congruence et, en général, comme Ton sait, la plus courte de deux droites d'une congruence est du premier ordce par rapport aux paramètres variables [ii et v). Dans le cas spécial que nous examinons ici, les surfaces de la congruence prennent, d'après M. Mannheim, le nom de normalies, et ici, comme dans les congruences rectilignes quelconques, il y a deux manières de grouper les droites de la congruence, de manière à avoir des surfaces développables. Les lignes de courbure sont les traces sur la surface (S) des normalies développables cl, lorsque nous disons, que le lolig d'une ligne de courbure deux normales se rencontrent, nous voulons simplement dire que la plus courte distance de ces droites est d'ordre supérieur au premier.

488. Formons l'équation dilTérentielle des lignes de courbure. Soient

les équations de la normale dont le pied sur (S) a pour coor-

données r, y, z ; soient

X — j' — dr -|- [p -|-- clp) (Z — z — dz) = o / Y — y — rfy + (7 + rfç) (Z — ^ — <f^) = o i

les équations de la normale au point infiniment voisin. Pour que ces deux droites se rencontrent, aux inTiniment petits du second ordre près, il faut et il suffit que

dx + pdz dy + qdz ^^

dii dq

Cette équation, développée après qu'on a remplacé dp^ dq^ dz par leurs valeurs en fonction de dx et de e/y, s'écrit

:(i -f i)2) s — pqr\ dr^ + 1(1 + p^) / — (1 + p^) r] dxdy

+ [W^ - (i + ^*) *J dy^ = o. (3i)

L'équation (30) ou l'équation (31) donnent la solution du problème. Elles définissent les deux directions du plan tangent, suivant lesquelles il faut se déplacer pour obtenir des normalics développables. L'identité de cette équation et de l'équation (26) nous montre que :

Les lignes de courbure se coupent à angle droit ; elles sont tangentes aux sections principales. En d'autres termes, elles forment sur la surface un réseau conjugué orthogonal, et c'est évidemment le seul.

l^a démonslration directe de ce théorème est d'ailleurs des plus simples: il suffit de prendre les axes particuliers qui nous ont déjà servi, savoir la normale au point M pour axe des z et les axes de l'indicatrice pour axes des jr et des //. On a alors à l'origine

el ré(|uation (31) devient

(/ — r) d.rdy z=z o, ce qui donne bien pour directions des laîïgente; aux n":nes

(lo oourburo

(iv = 0, dî/ = o,

c>st-à-dire les deux axes de coordonnées. 489. Aux ombilics

et Téquation des lignes de courbure est indéterminée. Cela ne veut pas dire que toute ligne qui passe en un ombilic est une ligne de courbure, mais seulement qu'il y a, en un tel point, plus de deux lignes de courbure. II peut n'y en avoir que trois, comme Ta démontré * M. Darboux.

Le fait que Téquation des lignes de courbure est indéterminée aux ombilics permet de former aisément deux équations qui, jointes à celle de la surface, détermineront les ombilics; ces points sont donc en nombre limité. Il suffit pour les trouver d^annuler les trois coefficiçuts des différentielles dans Téquation (31 ). On trouve ainsi trois équations qui se réduisent à deux

490. Posons encore la question de savoir s'il existe des surfaces dont tous les points soient des ombilics, ou, ce qui revient au même, dont toutes les lignes soient lignes de courbure. Il faut pour cela que les équations (32) soient identiquement vérifiées. Voici comment Serret, dans son Cours de calcul différenliel^ a obtenu Téquation de la surface : les cosinus directeurs A, B, C de la normale en un point sont donnés par les formules

et les équations (32) expriment que

' Leçons générales sur la théorie des surfaces^ t. IV, note vu.

502 CHAPITHK XIX

Donc A ne dépend que de 3:, B de y et, comme leurs dérivées sont égales, elles ne peuvent avoir qu'une valeur cons-

tante -• On a ainsi a

On en déduit

Donc

V«^ — (^- — a^o)* — (y — yo)' et enfin

^ — ^0 = Vrt* — (a? — .r^^)^ — (y -^ y^^'-

Cette dernière équation, rendue rationnelle,

(07 - o^o)* + (y - yo)--* + (^ - ^u)' -= ^\

est Téquation générale des sphères. La sphère (et comme c^s particulier, le plan) est donc la seule surface dont toutes les lignes sont lignes de courbure.

4t91, Les lignes de courbure étant tangentes aux sections principales, l'équation (31) est, comme nous Tavons déjà dif , celle qui fait connaître les directions des tangentes aux sections principales. Mais il importe de remarquer que le rayon de courbure d'une ligne de courbure ne coïncide nullement avec la normale à la surface. Ainsi, dans les surfaces de révolution, les lignes de courbure en un point M sont le méridien et le parallèle, vu que les normalies ayant ces lignes pour directrices sont respectivement un plan et un cône; or lo centre d'une parallèle n'est pas situé sur la normale MN a la surface.

Ajoutons qu'en un point M d'une surface de révolution, les plans des sections principales sont le plan m ^ridien et le plan mené par la normale MN et la tangente au parallèle. Par suite le centre de courbure du méridien est Tun des centres de courbure principaux; quant k lautre, il doit, d après le théorème de Meusnier, se projeter sur le plan du parallèle au centre m5me de ce cercle; c'est donc le point où la normale MN rencontre Taxe de la surface de révolution.

492. Vu riniportance des lignes de courbure, nous allons écrire leur équation différentielle avec des coordonnées curvilignes w, V quelconques.

Conservant les notations des paragraphes 4.73 et 474, nous aurons pour équation de deux normales inliniment voisines

A ~ B ~ C ~ ' X — x — (Ij" Y — y — dy Z — s — ds «, i /&

A + d\ ~ B + rfB ~ C -t- rfC ~ ■*"

S'il existe un point X, Y, Z commun aux deux normales, on obtiendra, en égalant les valeurs de ces coordonnées tirées des deux groupes d'équations précédents, les égalités

dy + erfB + Bd^ = o , (33)

dz 4- ^dC + CrfO =r o )

qui, par Félimination de 6 et de rfo, donnent la condition cherchée

djc d:\ A

dy dn B

ds dC C

11 suffira de remplacer d.r par ^r du + — dt\ dk par T—du + — di\ etc., pour avoir Téqualion du second d^gré

en rfw, rfv, dont Tinlt^gration fera connaître les lignes de courbure cherchées. Cette équation se décomposera en deux

du ^ . , ■âi = f^ («. ")'

Chacune de ces équations donnera par intégration, comme on le verra dans le second volume, une équation telle que

Ffw, î?, X) = o,

X étant un paramètre variable, et cette équation, jointe aux équations (1), définira une famille de lignes de courbure tracées sur (S).

4,92. Equation aux rayons de courbures principaux. — Soit R l'un de ces deux rayons. On a

R ::= V'(X — ic)^ + ( Y — yf + (Z — z^^ = 0 v^A*^ + B* + G*, or les équations (33) développées peuvent s'écrire

Eliminons entre ces équations du, (h\ rf6 et remplaçons 9 par sa valeur ^.^ ^ ^^ ^ > nous obtenons l'équation du

yjk^ + B' + C^

second degré

^jc R ;)A

^«* VA^+B^+C^^w'

^y . R ^B Dy R ^^B

^«"^Va^+bh^^w' ^ v/am^bh^'^'

7}z R PC

^w VA*+B'+C*^w '

Pour retrouver Téquation (25) il suffira dans cette équation de faire

r^- o, OU

ov ov

On trouve ainsi

\/i + p' + q' Pi

c'est Téquation (25).

493. Comme première application, nous chercherons les lignes de courbure des surfaces de révolution. Nous supposerons que Taxe de la surface ait été pris pour axe des z\ son équation sera alors

Le plan tangent en un point ayant pour équation

on aura

A — 2a', (/A = 2rf,r,

dZy

B - 2y, C dB = 2f/y, dC =

«p" (z) dz.

t donc ici

5fJ6 CHAnTRE XIX

l>* «i^^cond facl'»ur é^alé h zéro i]onn<* Ips mérîdii^D:

y — <li- = o ;

le troisième, d'où Ton lire :; = C, correspond aux parallèles. Enfin de

on déduit

i z +z^ = Cz + C ; et l'équation de la surface de révolution

représente une sphère sur laquelle les lignes de courbure sont indéterminées; on retrouve ainsi un résultat démontré d'une manière générale, n° 490.

404. Comme seconde application, nous chercherons encore les lignes de courbure des surfaces développables ,

Une telle surface s'obtient par IVlimination du paramètre m entre les deux équations (n* 427 1

:r = az -{- X / /..«.

dans lesquelles a, a, b, 3 désignent des fonctions de w; soient a\ ol\ b\ g', leurs dérivéi»s par rapport à w ; on a de plus, par hypothèse, entre ces quantités, la relation

fl'p'--6V = o. (39)

En posant -s = i\ on aura

Dw Dv

B = — (a'j + a'), C = {ba' — a*') ^ -f- *a' — a?'.

Mais de l'équation (39), on lire

A étant une fonction de u ;

D'où

A = 6'(-ar -{- X), B := — a (;r + X), C = {ba' — aô') (z -f /)

V = c», T* = — ^ ^ -^ =: ba — ab .

ov cv ov

« Si Ton porte ces valeurs dans Téquation (34), on verra que le coefficient de dv-, c'est-à-dire le déterminant,

fl, b'{Z'{-l), b'

1 , iba' — ab') {z + X), ba' — ab'

a deux colonnes proportionnelles; il est donc nul, et l'équation (34) développée est de la forme

Mc/w^ + "Sdudv = o ;

on aperçoit immédiatement une solution

du = 0,

ce sont les génératrices rectilignes de la surface développable. La seconde famille de lignes de courbure serait donnée par l'intégration de l'équation

Mdu -\- Nc/i; — o,

qui ne peut pas être effectuée en général

508 CHAPITRE XÏX

495, On peut enfin, par les mêmes formules, trouver les lignes de courbure de F ellipsoïde.

A cet effet nous poserons

^, ^ ,, iîLzJi^ , (,4)

avec

/•(Ç) = (5-«)(5-W(?-yV

Ces valeurs de x, y, z vërilieront bien l'équation de l'ellipsoïde, à cause des identit<% connues

+ 7Z ZTTL T{ + 77 Iw:^ HÂ == «'

Il sera alors facile de calculer — » 7-» -^> etc. : on trouvera

ainsi pour les lignes de courbure, par un calcul un peu long,

mais sans difficulté, une équation de la forme

Mdudv =: 0,

dans laquelle M est une quantité essentiellement différente de zéro.

Les lignes de courbure auront donc pour équations, soit

soit

Leurs projections sur les plans Je coordonnées, obtenues en éliminant le paramètre variable {v ou u) entre deux des équations (41), seront des coniques ayant pour axe respectivement ceux des ellipses principales de Tellipsoïde.

4fl6. Ce résultat est susceptible d'une intéressante interprétation géométrique ; pour Texposer rapidement, nous remplacerons dans Tellipsoïde a^, ô^, c- par a — u\ ^ — u\ Y — v. L'ellipsoïde a ainsi pour équation

et les formules (41) contiennent ?/, r, tv symétriquement. Les coordonnées de la ligne de courbure i/ = C** vérifieront donc aussi Téquation

k>SI 4/2 •9' 2

c'est-à-dire que cette ligne de courbure sera l'intersection de l'ellipsoïde donné et de la quadrîque homofocale

On sait que l'équation

représente une famille de quadriques dimt les sections principales ont les mômes foyers; suivant que X est inférieur, supérieur aux quantités a, g, y, ou compris entre les extrêmes, l'équation représentera un ellipsoïde réel, un ellipsoïde imaginaire, ou un des deux hyperbr)l()ïdes.

Restant dans le dr)maine réel, nous voyons que les lignes de courbure d'un système sur l'ellipsoïde proviennent de l'iiilerseotion de cette surface avec les hyperboloïdes homo-

focaux à une nappe ; le second système des lignes de courbure proviendra des hyperboloïdes à deux nappes.

Chacune de ces surfaces est coupc^e orthogonalement par les autres, c'est-à-dire qu'en chaque point de rinlerseclion on a

i\r \c "•" ;)j7 cV "^ î>- cV "" '

M) (a - te) "*" (P - u) (p - ic) + (r - u) (y — t^) - ""'

en effet celte dernière équation- résulte de la soustraction des équations (42) et (43).

L'équation (44) est du troisième degré en X, c'est-à-dire que, par chaque point de l'espace, il passe trois des quadriques de la famille. Voilà donc des surfaces telles que, par chaque point de l'espace, il en passe trois; ces surfaces se coupent orthogonalement et forment ce qu'on appelle un si/sihne triplement orthogonal. Leurs intersections mutueik's sont lignes de courbure sur les surfaces auxquelles elles appartiennent. C'est un cas particulier d'un célèbre théorème, <lii à Dupin, et que nous allons établir.

Tliéorèine de Ihipiii siii* les systèmes triplement ortiiogona

407. Trois familles de surfaces, (leif.r à deux orthogonales^ se coupent mutitellement suivant leurs lignes de courbure.

Les familles de surfaces dépendent chacune d'un paramètre qui reste constant sur une surface déterminée; soient u, r\ u\ ces paramètres. Nous supposerons que les équations des trois surfaces aient été résolues par rapport à j", y, z^ de sorte que les coordonnées d'un point de l'espace s'expriment par des formuh^s de la forme

y ^-r^[u,i\io),

LIGNES TRACÉES SUII LKS SURFACiSS 511

Si n)y par exemple, reste constante, ces formules expriment h's coordonnâmes d*un point de la surface (î^); si deux paramètres li, t\ restent constants, elles représentent la courbe d'intersection des surfaces (w) et (f); sur cette courbe, to seule varie.

Tne fois posés ces préliminaires, qui s'appliquent à toute représentation de l'espace en fonction de trois paramètres, c'est-à-dire à tout système de coordonnées, venons au théorème de Dupin.

Si les plans tanfj^ents aux trois surfaces qui se croisent en un point forment un trièdre trirectangle, il en sera évidemment de même des tangentes aux intersections mutuelles de ces surfaces prises deux h deiix. On aura donc les conditions

et deux autres analogues; nous écrirons, par une abréviation

facile à saisir,

yi <V tVr

Dérivons chacune de ces équations par rapport à la variable qui n'y entre pas; nous obtiendrons trois équations, telles que

> V ^ ^T" + 7 ^ ^ V :== o. ^-J oucfr cv — J eu cvcic

Additionnant ces trois équations, et retranchant chacune de la somme, nous trouvons

-ii^ CV 01(010 i

Eliminons t~ ' r ' f~' Par exemple, enire la dernière équa-

tion du système (46) et les deux dernières équations du système (45); nous trouvons

hi^v

t>ie<>r

Cette condition exprime (n" 475) que les surfaces (u) et (w) dc^coupent sur la surface [ir) un réseau conjugué; or ce réseau est déjà orthogonal en verlu des hypothèses ; c'est donc le réseau des lignes de courbure.

M. Darboux a complété ainsi le théorème de Dupin : lorsquon a deux familles de surfaees se coupant mutuellement à angle droite et suivant des ligues de courbure communes^ il existe nécessairement une troisième famille f/e surfaces qui forme arec les deux premières un système triple orthogonal.

La démonstration résulte immédiatement du théorème suivant, que nous nous bornerons à énoncer, et qui généralise un théorème, démontré au n" 460, sur les congruences rectilignes :

Les surfaces d'une congruence quelconque^ qui sont assujetties à contenir une courbe de cette congruence^ et à admettre en un de ses points M la tangente MT comme direction principale, forment deux sénés distinctes et sont tangentes à deux plans différents passant par la droite MT ; réciproquement, toute surface de la congruence, tangente en M à un de ces deux plans, satisfait à la condition proposée, Paur que les courbes de la congruence admettent des surfaces trajectoires orthogonales, il faut et il suffit que les deux plans précédents soient toujours rectangulaires.

498. CoROLLAUiE. — Jm transforniation par rayons vecteurs réciproques conserve les lignes de courbure. — En effet

compI(^tons un système triplement orthogonal qui comprenne la surface (S), en adjoignant à ces surfaces les surfaces parallèles; ce qui fait une première famille, el les normalies diWeloppables le long des lignes de courbure, ce qui constitue les deux autres familles. Dans Tinversion, ce système se transforme en un autre système triplement orthogonal, et les intersections mutuelles des surfaces restent lignes de courbure, en vertu du théorème de Dupin.

Formules d'Olinde Rodriyues

499, Ces formules résultent immédiatement des égalités (33). Supposons, en effet, que, dans les équations de la normale, A, B, C, au lieu de représenter des quantités proportionnelles aux cosinus directeurs de la normale, désignent ces cosinus eux-mêmes, c'est-à-dire que

Aa + B» -t- C» = 1, ou

Ae^A -f BdB + CdC = o ;

on a alors (n° 492)

De plus, en multipliant les équations (33) respectivemeni par A, B, C et ajoutant, on trouve

parce que, à cause de la perpendicuterit ' de la normale et do l'élément dxy dy^ dz, on a

kdx 4- Bdy -}- Cdz = o.

Donc, en excluant les surfaces imaginaires qui satisferont

à la condition

A3 + B^ -f C» =:: o, on Irouve

d^ = dK =: o,

CALCUL INFLXITÉSI91AL. 33

et les formules (33) se réduisent à

dy 4- R^B -^o |. (47)

dz -h Rdi: = o ) ,

Ce sont les formules d'Olinde Rodrigues. Elles supposent qu'on a fix<^ un sens sur la normale et que R est positif ou n(^gatif.

On peut donner de ces formules la démonstration intuitive qui suit. Soit MM' un arc infiniment petit d'une ligne de courbure; les normales à la surface aux points M et M' se coupent (n** 487) en un point 0 qui est le centre de courbure de la section normale en M, el Ton a sensiblement MO = MO = R.

Si A, B, C désignent les cosinus directeurs de la normale MO, et A + ^/A,. B + f/B, C + r/C, ceux de MO, on aura, en projetant le contour fermé OMM'O sur les trois axes

pr. OM + pp. MM' + pr. MO ^- o ;

par exemple sur Ox

OM X A -f €/a7 + M'O (A + dk) ^ o, ou

— R X A -}- c/.r + R (A + dk) == o, ou enfin

dx -f- RrfA r=: O.

Ijgnes de €*oui*biii*o eominiiiies à deux surfaces

r>00. Les formules d'O. Rodrigues fou missent une démonstralion aisée d'un beau théorème de Joachimstahl : Deux surfaces qui ont nue ligne de courbure commune se coupent en tous les points de cette ligne suivant le même angle.

Soit un élément ds de la ligne commune, dont les projections sur les axes sont dx, dy, dz\ appelons R et R, les rayons de courbure principaux correspondants dans les deux

surfaces, el A. B, C, A|, B^, Cp leurs cosinus directeurs. On aura par les formules d'O. Rodrigues

(fx + RrfA = G, dy ^ Rr/B = o, dz -\- Rfi^C = o,

r/.r 4" R<c?A, = 0, dy + R,rfB^ = o, dz + R|C?C, == o;

multiplions les égalitt^s de la première ligne respectivement * [Kir RjAi, RiBi, RjCi, membre h membre, celles de la seconde par RA, RB, RC, et ajoutons. Si Ton remarque que la perpendicularité des rayons de courbure aux lignes de courbure entraîne les égaliti^s

A//.r -f- B|^Av -f- ^-{dz -= t>, \d.r + Hdy^ Cdz = o,

on trouve

\d\^ + BdB^ + CcfC, + A^rfA + B,^/A + C^dC = o,

c?(AA, + BB, +CC,) =0.

Donc