A A, + BB,.+ CC
c'est-à-dire que les normales aux deux surfaces font enjre elles un angle constant.
501. O throrème résulte immédiatement de la théorie des développées. Nous avons en effet démontré (n° i47) que les normales d'une courbe L qui enveloppent deux développées différentes se coupent sur L, suivant un angle constant; cette propriété s'applique évidemment aux. normales considérées dans le paragraphe précédent, qui, en vertu môme de leur définition, enveloppent nue développée de L.
Réciproquement, si deux surfaces (S) et (S') se coiipenê suivant un angle constant le long d^une courheY^^ et si cette courbe est ligne de courbure pour (S), elle est aussi ligne de courbure pour ^S'). En effet, par hypothèse, les normales de (S) enveloppent une développée de L; les nonnales de (S') le long de L, faisant un angle constant avec les précédentes,
enveloppent aussi une dt^veloppée de L, et, puisqu'elles forment une développable, L est une ligne de courbun*
de (S').
50;2. Par exemple, si un plan ou une sphère coupent une surface suivant un angle constant, rintersection est une ligne de courbure de cette surface. Car toutes les courbes tracées sur un plan ou sur une sphère scmt dos lignes de courbure du plan ou de la sphère.
Surfaces-enveloppes de splic^res. Cyelides
•o03. Parmi les surfaces à lignes de courbure phmes, nous considérerons en particulier celles (S) pour lesquelles un des systèmes de lignes de courbure est formc^ de circonféi*ences. Dans ce cas, les normales h la surface le long d'une des lignes de courbure circulaires vont rencontrer Taxe de cette circonférence en un même point 0, et la sphère qui passe par la circonférence et qui a pour centre 0 touche la surface (S) le long de cette circonférence. (S) est donc une enveloppe de sphères.
Réciproquement toute enveloppe de sphères à tin paramètre a un système de lignes de courbure circulaires. En effet la caractéristique d'une de c^»s sphères est évidemment une circonférence; les normales à la surface le long de cette circonférence sont les rayons de la sphère et, par suite, font un angle constant avec le plan de la circonférence, et comme celle-ci est ligne de courbure sur la sphère, elle est aussi ligne de courbure sur la surface-enveloppe.
*>01. Dupin a appelé et/c/ides les surfaces dont les lignes de courbure sont circulaires dans les deux systèmes. D'après ce qui précède, ces surfaces sont de deux manières enveloppes de sphères; leurs normales rencontrent deux courbes, auxquelles se réduisent les deux nappes de la surface des centres de courbure.
En un point d'une de ces courbes, centre d'une sphère enveloppée, les normales qui y passent forment un cône de révolution ; ces normales rencontrent la deuxième courbe, qui est ainsi située sur un cône de révolution et, de même, sur une infinité de cônes de révolution ayant leurs sommets sur l'autre courbe. On reconnaît le système de deux coniques focales, dont chacune est le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par l'autre. Les génératrices de ces cônes c<mstituent la congnience des normales à une famille de cyclides parallèles.
On peut ici faire une application du théorème que nous avons démontré (n° 461) relativement aux congruences de normales. Les deux plans focaux sont en effet les plans tangents aux deux développables réduites aux cônes, dont les sommets S et S^ sont sur les coniques focales; or c'est une propriété bien connue de ces coniques que Taxe du cône de révolution de sommet S^est précisément tangent à la conique qui renferme ce sommet. Le plan tangent au cône S^ passe donc par l'axe du cône S et est perpendiculaire au second plan tangent. Les droites SS^ sont donc bien normales à une surface. •
505. Considérons trois sphères qui ont leurs centres sur la première ccmique; une sphère quelconque de la seconde série touche les trois premières aux points où sa caractéristique touche les caractéristiques de ces trois sphères. La cyclide peut d(mc être considérée comme l'enveloppe d'une sphère tangente à trois sphères données.
Soient C, C, C les centres de ces trois sphères; faisons de la figure une transformation par rayons vecteurs réciproques, en prenant le pôle d'inversion sur la circonférence qui passe part', C', iV\ Les trois sphères transformées auront leurs centres en ligne droite; la surface nouvelle sera l'enveloppe d'une sphère langente aux trois sphères précédentes,* elle admettra évidenunent la ligne des centres CC'Cy comme axe de symétrie. La caractéristique de la sphère enveloppée sera une circonférence F dont les points de contact avec les sphères fixes sont dans le plan de l'axe, et la surface-enve-
loppe sera un tore engendré par la révolution de F autour de l'axe. Dans cette transformation , les plans des lignes de courbures circulaires se transformeront en sphères : mais, comme les angles se conservent dans l'inversion, ces sphères couperont le tore suivant un angle constant le long d'une circonférence transformée, et celte circonférence sera encore une ligne de courbure du tore. Il était d'ailleurs évident que les lignes de courbure du tore étaient, d'une part, les parallèles, d'autre part les circonférences méridiennes. Les cyclifies de Dupin sont donc /es inverses du tore (Mannheim).
506. Il est à remarquer que, dans le tore, les sphères qui ont pour caractéristiques les circonférences méridiennes sont toutes égales. Le tore est donc une surface-canal : on appelle ainsi l'enveloppe d'une sphère de rayon constant dont le centre décrit une courbe quelconque. Il est évident que, dans ce cas, la caractéristique de la sphère enveloppée est un grand cercle normal au lieu des centres.
RepréseiilaUon spliérique de^Gauss
o07. Nous allons maintenant étudier l'important mode de correspondance des surfaces dû à Gauss et connu sous le nom de représentation sphérique.
Fixons sur la normale en M à la surface (S) un sens, et par le centre 0 d'une sphère de rayon égal à l'unité, menons une parallèle à cette normale dans le sens fixé. Cette parallèle perce la sphère en un point m qu'on appelle Vimage sphérique ou la représentation sphérique du point M.
Si Itî point M parcourt une ligne sur (S), son image m parcourt sur la sphère une ligne, image de la première. Les plans tangents aux points correspondants étant évidemment parallèles, les tangentes conjuguées des tangentes à une ligne et à son image sont parallèles; en d'autres termes, l'image (/) d'une ligne (L) fait avec (L) un angle complémentaire de celui que (L) fait avec sa conjuguée.
Par exemple à la tangente d'une ligne asymptoHqtie (ligne tangente à une asymptote d'une indicatrice) correspond une droite perpendiculaire. Nous utiliserons plus loin cette propriété.
A une tangente principale correspond sur la sphère un(» tangente parallèle. Les formules d'O. Rodrigues ne font qu'exprimer cette propriété : en elîet les coordonnées du point m sont évidemment les cosinus directeurs de la normale en M. Exprimons que les déplacements de M et de m sont parallèles; nous obtenons les conditions
dx dy dz
dK^d^" ÎC'
qui ne sont autres que les équations (47), dont on a éliminé R.
^08. La représentation sphérique (Tune ligne de courbure plane L est une circonférence ; car les normales à la surface le long de L font un angle constant avec le plan de L (n" 502), et les parallèles à ces normales menées, par le centre de la sphère sont les génératrices d'un cône de révolution qui coupe la sphère suivant une circonférence.
Réciproquement, si la représentation sphérique d'une ligne, de courbure L est une circonférence, la ligne de courbure est plane ; en effet les tangentes de L, étant parallèles à celleîj de la représentation sphérique, sont parallèles à un plan, et L est une courbe plane.
Lignes asymptotiques
509. On appelle lignes asymptotiques d'une surface celles qui ont en chaque point pour tangente une des asymptotes de l'indicatrice. Le paragraphe précédent permet d'obtenir immédiatement leur équation différentielle; en effet, exprimons qu'elles sont, en chaque point, perpendiculaires à leur image. Nous obtenons l'équation cherchée
dxdk + dyd^ + dzdC = o, (48)
clans laquelle il n'y a plus qu'à remplacer dx par.
eu ' Or di/ par
^du + ^ dv, etc.
Dans le cas particulier où les variables indépendantes sont ?/ = :r et r = y, l'équation précédente devient
dpdx -f- dqdy = o, (49) ■
ou
rdx^ + 2sdxffi/ -\~ Idy^ = o. (oO)
510. Une remarque importante s'impose ici : l'équation (48) subsiste même si A, B, C désignent non plus les cosinus directeurs de la normale, mais simplement des quantités proportionnelles. En effet il faut, dans cette hypothèse, écrire au lieu de dk
^/ Qy ■ . 4- Aa. . ,
^/A-+B^ + C2 VA> + B^ + C^ vA^ + B=»+C>
mais les termes, qui se trouvent ainsi ajoutés dans l'équation (48), disparaissent, parce que l'on a évidemment
\dx -f- B^y -f- Cdz --=: o.
511. Théorème. — Le plan oscillateur d'une ligne asynip" totique en iin point est tangent à la surface en ce point. Le plan tangent à la surface a pour équation
Nous devons exprimer qu'il contient, outre le point. r, y, z;
les points x -\- dx, y + rfy, z + dz^ et x -\- dx -^-^ d^x^
y -h dy -\--d^y, z -\- dz -\-'-d^z, ce qui donne les condi-
tions
Adx + Bdy + Cdz = o (51)
et
\dKv + nd^f/ -j- Cd^z = o.
L^équation (51) est identiquement vérifiée; elle exprime que la normale est perpendiculaire à la tangente. En la dîfférentiant et en retranchant (48) du résultat, on trouve Téquation (52). Le théorème est donc vérifié;
On voit, de plus, que Téquation (52) est équivalente à Téquation (48); elle peut donc, au môme titre que cette dernière, être prise pour équation des lignes asymptotiques. Elle peut encore s'écrire
du
ou en remplaçant les différentielles secondes par leurs valeurs
^u^v bu^v
bubv
bx
du
du
du^ + 2
bu
bu
bz bu
dudv
bx
dr
bx bv
bv
bz bv
Dt?> ;)»î»
bv^
^x h^ 'bu ^u
bz bu
dv^ = 0.
dr
bz • bv
512. Il est intéressant de remarquer que cette équation prend la Torme simple
Mdu\ + Pdv^ = o,
lorsque le réseau (//, v) est conjugué (U). Ce résultat s*explique aisément dans le cas particulier où Ton a pris pour axes des x
et des rj les tangentes à deux courbes du réseau conjugué. L'équation s'écrit alors
ci elle exprime que les tangentes asympiotiques coïncidenl avec les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués de Tindicatrice.
513. Dans le cas des lignes asymptotiques, le théorème de Meusnier se trouve en défaut. En effet, Téquation (15), qui donne le rayon de courbure d'une courbe dont le plan osculateur fait avec la normale l'angle y, est
p = Po cosv.
Mais ici v = ^? cos y = o et pq = oo, puisque la section
normale a pour trace, sur le plan tangent, une asymptote de l'indicatrice. Le lecteur pourra voir dans le tome II des Leçons sur la Géométrie des sur/aces, de M. Darboix, page 397, comment il faut procéder dans ce cas.
514. Pour la section de (S) par son plan langent, comme pour la ligne asymptotique, la formule de Meusnier devient illusoire; mais il existe entre les rayons de courbure de ces deux courbes une curieuse relation due à M. Beltrami. et que nous nous bornerons à faire connaître sans démonstration : Ifi raf/on de courbure de la section plane est égal à trois fois la moitié du rayon de courbure de la ligne asymptotique.
Nous donnerons enfin un dernier résultat relatif aux lignes asympiotiques; si l'on appelle tq la torsion de la ligne, R et R' les deux rayons de courbures principaux de (S), on a
t, = V-rr'.;m. (54}
' Darboux. Leçons, etc., loco citalo.
51 5. Comme application, nous chercherons les lignes asymptotiques des surfaces réglées. Soient
les équations de la génératrice dans lesquelles a, 6, a^, ..., sont des fonctions de la variable t\
dx = adu -f- {a'u -f- ô ') c?r, rfy := a^du -f- (rtjw + ^0 ^^»
C?^ =: ÛjO^W -|- (rtjU + ôj) dv.
Les différentielles secondes rf^x, ûPy, rf's, ne renfermeront pas de termes en du'^; donc, dans l'équation (52), dv sera en facteur, et un système de lignes asymptotiques aura pour équation v = C**. Ce sont donc les génératrices recti lignes de la surface.
Pour le second système, on aura à intégrer une équation de la forme
IJ - a''* + pu + r, (56)
a, g, Y étant des fonctions connues de r; cette équation ne peut pas s'intégrer en général. Nous aurons à en reparler dans le second volume (équation de Riccati); mais, pour ne pas avoir à revenir sur les lignes asymptotiques, nous donnerons immédiatement, sans démonstration, la forme générale de la solution de cette équation
