IC -\- m ,„
"=;ïcTâ5 (•-'^)
dans cette formule, /, w, /*, A, sont dx?s fonctions de r à déterminer et ne dépendant que de a, g, y; c est une constante .susceptible de recevoir des valeurs arbitraires. Si Ton remplace u par sa valeur dans les équations (55), on a, en fonction de r, les équations des asymptotiques du second sys-
52i CHAPITRE XIX
lèiiip. Donnons à C quatre valeurs. C,. CL. C3, C4. il en n^sulfera quatre lignes asyuiptotiques: pour une valeur déteriuini'*e de r. les romiules 55' donneninl le point de rene«»nlre de la génératrice correspondante avec ces as^-niptotiques. On aura par exemple
et deux autres formules analogues pour y^ et z^: de même X.., y.,- ^'2^ -^3' --• Or, on voit facilement que
*^j """" •J' 3 J^j JC^ ^J ^3 '% ""^ 1 •
et, comme r a disparu dans le second membre, il en résulte que les quatres asymptotiques considérées coupc^nt une génératrice rectiligne en quatre points, dont le rapport anharmonique reste constant, lorsque la génératrice décrit la surface réglée.
Courbure géodésîque : lign<^s géodésiques
0IB. 11 nous reste à définir une dernière catégorie de courbes tracées sur les surfaces : ce sont les lignes géodesiques. Quelques considérations préliminaires sont utiles. Nous avons vu que, pour toutes les courbes F de la surface qui louchent, au même point M, une même droite MT, Taxe de courbure coupe la normale en un même point 0; nous apf)elIerons ce point le centre de courbure normale de la courbe F, et nous appellerons centre de courbure géodêsique ou centre de courbure tangentieUr le point 0|, où Faxe de courbure de cette c(Mirbe rencontre le plan langent en M. Ce point 0, coïncide avec le centre de courbure de la projection de la courbe sur le plan tangent, en vertu du théorème de Meusuier; car cette projection est la section normale du cylindre projetant.
Le rayon de courbure g/'oilésique a pour valeur absolue MOj, et son inverse est la courbure géodêsiffue.
517. Nous ne préciserons pas davantage le signe de ce rayon de courbure, parce que nous nous bornerons au cas où ce rayon est infini, el nous appellerons lignes géodésiques celles dont le rayon de courbure géodésique est infini, ou, ce qui revient au môme, à cause de la définition du centre de courbure géodésique, celles dont le plan osculaleur est normal à la surface. Ces courbes doivent leur importance en géométrie à ce que, sauf des restrictions analogues à celles qu'on rencontre dans tous les problèmes de minimum, elles sont les plus courts chemins entre deux quelconques de leurs points. C'est ainsi que, sur la sphère, les grands cercles, dont le plan est effectivement normal à la sphère, sont les plus courts chemins entre les deux quelconques de leurs points, pourvu que le chemin soit compté sur le plus petit des deux arcs de grand cercle limités par ces points.
Soit AB la ligne la plus courte parmi colles que Ton peut tracer sur une surface entre les points A et B, et M^cM' un arc infiniment petit pris à volonté sur AB. Désignons, en outre, par MT la tangente en M à la ligne AB, par MZ la normale k la surface au point M, et enfin par M^M' l'arc appartenant à la section faite dans la surface par le plan ZMM'. Par hypothèse, on a Tînégalité
Ma\r - Mp\r < o,
qu'on peut écrire, en appelant c la corde MM',
MaM^ — r MpM^ — r
La limite du premier membre, lorsque, M restant fixe,
M' tend vers M, sera donc négative ou nulle, de sorte qu'on
aura & la limite
:24p2 24pî ' ^'
p et f< étant les rayons de courbure, en M, de la ligne AB et de la section par le plan normal ZMT. D'ailleurs, si 0 est
Tïingle du plan osculateur k la ligne AB. au point M, et du plan ZMT, on a, d'après le théorème de Meusnier, p = p^ cos6. L*inégalité ppéciîdente devient alors
— ^-7 — i |: o, cos' h '
et comme le premifi* membre ne saurait être négatif, on aura 0 = o. Ainsi la ligne minima AB a, en chacun de ses points, son plan osculateur normal à la surface; c'est donc une ligne géodésique.
On rencontre aussi ces courbes en mécanique; ce sont les trajectoires d'un point assujetti à se mouvoir sur une surface sans être soumis à aucune force extérieure. En effet, dans ce cas, le plan osculateur de la siu'face, qui contient toujoui*s la résultante des forces, contient la seule force appliquée au point, savoir la réaction normale de la surface.
518. Cherchons, par exemple, les lignes géodésiques du cylindre de révolution. Soient
. X =nl{ COS ^,
y z=r R sin /,
les coordonnées d'un point M de la courbe rapportées à trois axes rectangulaires, dont oz coïncidant avec Taxe du cylindre. Le plan osculateur en un point
X — Rcos/
- R sin /
— R sin /
R cos /
— R cos l
- R sin (
Rcp" it)
doit avoir sa trace sur xoi/ parallèle au rayon qui va de l'origine à la projection de M ; on a ainsi la condition
*"(0 = o; d'où
OU plus simplement, en prenant un nouveau plan convenable dos xy parallèle à l'ancien,
Les équations de la géodesique sont donc
i .c = R CCS/, y = R sin ^ ' :z - Rht.
On reconnaît les équations d'une hélice tracée sur le cylindre, et Ton sait en effet que les hélices, provenant de . l'enroulement de droites sur le cylindre, sont bien les plus courts chemins tracés sur le cylindre entre deux quelconques de leurs points. Il est facile ici de préciser les restriclions dont nous avons parlé dans la définition (n" 517) ; il faut que Tare d'hélice soit inférieur à une spire ; s'il était égal à une spire, le plus court chemin d'une de ses extrémités à l'autre serait évidemment la génératrice du cylindre qui joint ces deux points; s'il était supérieur à une spire, il y aurait une autre hélice passant par ses extrémités et qui serait le chemin minimum.
519. On vérifierait, de même, que les hélices tracées sur des cylindres quelconques sont les géodésiques de ces cylindres.
520. L'exemple des cylindres nous permet encore de faire connaître une particularité qui achèvera de donner à ces courbes intéressantes leur véritable physionomie. Entre <leux points du cylindre, quelque voisins qu'ils soient, il y a toujours une infinité de géodésiques, dont une seule, bien entendu, en général, est plus court chemin entre les deux points. En effet, si ; et r; sont l'ordonnée et l'abscisse curviligne du premier point M, celles du second. M', seront, à volonté, ;' et r/, ou ;' + 2kT.R et r;', /' étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Si on déroule le
cylindre sur un plan, au point M correspondra uu point m, et les diverses valeurs de /: feront correspondre a M' une infinité de points m\ m\, /n'.,, ... l.es droites mm\ mm\, mifi^s ..., donneront toutes les hélices passant par M el par M', lorsqu'on enronlera, de nouveau, le plan sur le cylindre.
r>âl. L'équation des c/êodêsiques s'écrit immédiatement en exprimant que la normale principale à la courbe, dont nous avons donné les cosinus directeurs (n® 418), coïncide avec la normale à la surface, dont les équations ont été écrites au n" 474. On trouve ainsi
df?- ds^ ds* .^
ce qu'on peut écrire, en appelant p la valeur commune de ces rapports,
Multiplions les deux membres de ces équations respectivement par ~î -^î -,^» et ajoutons membre à membre; il vient
du' d^x . dy dh/ . dz d^z . , , .i^j ■ /-j n
Le second membre est nul en vertu de Téquation de la surface, comme nous Tavons souvent observé (51), et le premier
parce qu'il esl la demi-dérivée rf^C'T:) +(7/^) +(7r) '
qui a pour valeur l'unité. Les équations (G) se réduisent donc à une seule, si Ton tient compte de Téquation de la surface, ce qui était à prévoir.
Il faut remarquer que les numérateurs des équations (G) sont écrits en supposant que Tare de la ligne géoJésique est pris pour variable indépendante. On s'affranchira de cette restriction en écrivant de préférence
j dx j dy j dz a . "T et . — p a . -7-
d,s as as ..,
et maintenant la variable indépendante peut être prise arbitrairement.
Nous retrouverons bientôt Téquation des géodésiques sous une forme très symétrique et très condensée, comme application d'une méthode extrêmement féconde, qu'il nous reste à faire connaître.
La méthode que nous allons indiquer est due à Gauss, qui Ta fait connaître dans son célèbre Mémoire : Disquisitiones générales circa mperficies curvas ; elle a été illustrée par les travaux de nombreux géomètres, parmi lesquels il nous suffira de citer Bonnet, Bour, Godazzi^ Laguerre, Ribaucour et M. Darboux. Avec les indications qui suivent, le lecteur reconstituera aisément tous les calculs.
Soient OZ, la normale à la surface, OX et OY les tangentes aux courbes v = G^* et u = 0\ Nous appellerons a:, y, z, les coordonnées d'un point M, par rapport à ce trièdre T, mobile. Si Ton donne aux variables indépendantes w et t; des accroissements infiniment petits, le trièdre T devient un trièdre analogue T', d'origine 0'; M devient M', et nous appellerons les coordonnées de ce nouveau point, par rapport au trièdre T', x + dx, y + rfy, z + rfs, et par rapport au trièdre T, a: + r/X, y + r/Y, z + rfZ. Les axes sont supposés rectangulaires, et, par suite (n° 477, form. Il et 12), Télément d'arc a pour expression
c&« = k'^du^ + C«dw^
OU
Cela posé, le théorème des projections permet d'écrire projection OM' = projection 00' -(- projection O'M',
Fio. 44.
et, si Ton remarque que la projection de O'M' peut être remplacée par la somme des projections de ses projections sur O'X', O'Y' et OT, on établira, sans peine, les formules, qui ne sont vraies qu'au second ordre près,
dX d\
Mu + ^a: + p^
Cdv -\- dy -\- '(X
dz -|- ay
ry )
au [;
a, p, Y» désignent les cosinus infiniment petits définis par le tableau suivant
