OX
ox
OY
OZ
Ces cosinus infiniment petits sont de la forme
a = pdu -\-p^dv \
p = qdu -f Çidv V (59)
y = rdu -\- r^dv ;
En portant ces valeurs dans les formules \5S), et remarquant que
dûc = r^ du -|- r— dv, du = ....
on aura finalement des équations telles que
dX = Mdu +Ndfi?, rfY = Wdu + Kdv, dZ = M" du + Wdv,
Si le point M est fixe, les six coefficients de du et de dv doivent être nuls, ce qui donne des équations de la forme
^^^=pz-rx, ^^ = -C+p,z-r,x }. [GO)
^ = qx-py, ^ = qrv-p,y
En exprimant que les deux valeurs de . , tirées de ces
équations sont égales entre elles, ainsi que celles de 7-4-
®t de . , > et en observant que les conditions obtenues diiav ^
doivent avoir lieu, quel que soit le point fixe M, on obtient
enfin les équations de Codazzi, qui sont fondamentales dans
celle théorie
Dr, Dï' Dm Dt?
îPi + vf - ^ = o
M. Darboiix, auquel on doit les notations symétriques dont nous venons de nous servir, a observé que les quantités/y, y, r, sont les composantes de la rotation que subit le Irièdre T, lorsqu'on fait varier u seulement, que />j, yj, r^, sont les rotations correspondant à la variation de r, et il a tiré de ce point de vue cinématique les plus heureuses conséquences, qui sont développées dans son traité déjà si souvent cité. Nous nous bornerons à deux exemples, pour faire comprendre la fécondité de la méthode.
oâ3. S'il existe sur oz un point a" = o, y = o et :; = p, qui se déplace tangentiellement à oz^ on aura pour ce point
ou
c^X = G, cTi '•= o,
Adu + p {qdu -{- q^dv) = o, Cdv — p [pdu + P\dv) =z o.
L'élimination de p conduira à Téquation différentielle des lignes de courbure
Apdu^ + Cq^dv^ + {Cq + AjJ,) dudv = o,
f/ji et celle de y- à Téquation aux rayons de courbure princi-
(tv
paux
p'(lf-|)-p('^^'-^î) + ^^ = °-
Prenons maintenant un point M, dans le plan XOY(z = o); exprimons qup son déplacement a lieu dans ce plan [dz = o). Le lieu des points qui jouissent de cette propriété, c'est-à-dire la caractéristique du plan tangent XOY, sera la tangente conjuguée de 00'; en exprimant que sa direction coïncide avec 00, on aura Téquation des lignes asymptotiques. On trouve ainsi pour la caractéristique
{pdti -{-7>|rtr) y — {qdti -|- q^dv) a? = o,
et pour Téquation des asymptotiques
(/du -\- q^dv Cdv
pdu -f- p^rfr i\dii
525. Revenons aux lignes géodésiques. Pour cela, appelons iù Fangle que la tangente à la courbe 00' fait axec OX, et utilisons les formules de Frenet, ainsi que la représentation sphériquc (n* 417). Le point représentatif de la tangente aura pour coordonnées, si Ton prend des axes parallèles à OX, OY, OZ, menés par le centre de la sphère
COSo), siiKo, 0,
et son déplacement, auquel on peut appliquer les formules (58), dans lesquelles on n'a qu'à supprimer les termes kdu et Cdv, qui proviennent du déplacement de l'origine, sera parallèle à la normale principale de la courbe; si la courbe est géodésique, on aura pour ce point
rfX = 0 et rfY = o, c'est-à-dire
— sin (o c?(i) — [rdu -{- r^dv) sin w = o, coso) di3i -|- {fdu -(- r^dv) cosco = o,
en tenant compte des équations (59) ; ces deux équations se réduisent à l'équation unique
diû -[- rdu -^ r^dv z=z o, (63)
qui est l'équation différentielle des lignes géodésiques. Il
, 7v 1 Arfw Cdv
n y a plus qu à y remplacer cos w par —7 — » sm u) par ~~j~^
1 rfA et d'après les formules de Codazzi (61), r par — F "T"* '"t P^*"
-r-f-^ pour avoir une équation ofi n'entrent plus que les
coefficients de ds'^.
On obtient ainsi Féquation, que nous écrirons avec les notations de Gauss (form. 10, n"* 477),
2(EG — F2) (dud-^v — dvd^u) := ^E ^ -|- F ^ — 2E ^^ rfu»
+ f 3F ^ + G^^ -2F ^ -2E ^^ du^dv • V ov ou eu ou/
\ ùv ou vu Ou/
^G . r^ DG ^^ c^F ,,,, ^E^
du dv^
\ Dtt <)v c)o t)v/
On peut signaler, par exemple, les lignes de longueur nulle {ds^ = o)s comme vérifiant Téquation (63); mais ces lignes imaginaires n'ont pas d'intérêt ici.
Comme deuxième application, supposons que u soit l'arc de géodésique qui fait en M, avecune droite donnée, l'angle t' ; les deux coordonnées d'un point quelconque de la surface seront l'arc tt et l'angle r, analogues à des coordonnées polaires, et l'on aura
ds^ = du^ + 2Fdudv + GdvK
Mais, puisque v = G*® est une géodésique, et que E = 1, l'équation (63') se réduit à
ou
F ne dépend que de v, et comme ce coefficient est évidemment nul pour u = Oj on a
Oa obtient donc la forme très remarquable qui suit
ds^ = dv? + Grfu^
Surfaces applicables
5â6. Nous avons vu (n* 477) que l'élément d arc d'une surface, sur laquelle est tracé un réseau (w, v), est donné par la formule
r'> ds^ = ErfM» + "lYdndv + G/fv«. (64)
Si les coordonnées des points M et m de deux surfaces peuvent s'exprimer en fonction des mêmes paramètres w et v, de manière que les ds*- des deux surfaces soient donnés par la formule unique (6i), les deux surfaces seront dites applicables Tune sur Tautre. Pour justifler cette définition, prenons sur la première surface trois points infiniment voisins M, M', M", et sur la deuxième surface les trois points m, m', m\ qui correspondent respectivement aux mêmes valeurs de II et de v\ les deux triangles MM'M^ et mm'm" pourront être amenés à coïncidence, puisque, en vertu de l'égalité des ds^^ ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.
527. Donnons immédiatement un exemple. La surface de vis à filet carré, dont l'axe est 02, a pour équations
a? = w cost?, y =z u sint?,
z = av.
a étant une constante. Son ds^ sera donc
ds^ = dx^ + dy^ 4- dz^ = du^ + {a^ + u«) dv^.
Considérons maintenant Valysséide ou caténoïdey c'est-àidire laTurface engendrée par la révolution d'une chaînette
autour de sa base. Nous prendrons cette base pour axe des 2, et Taxe de la chaînette pour axe des x ; si r désigne la distance d'un point de la méridienne à oz, IVquation de la méridienne sera dans son plan
Ml
Pour avoir les coordonnées d'un point de la surface, en fonction de deux paramètres r et v, il suffit d'adjoindre à l'équation précédente les équations
.r — r cosr,
y — r sin r,
On en tire
ds^
et il suffit de poser
dr^,
pour que l'élément linéaire prenne la forme
c'est-à-dire la môme forme que dans la surface de vis à filet carré. Donc la surface de vis à filet carré est applicable sur la cdténoide. Les courbes r = C** sont sur la première les génératrices rectilignes, sur la seconde les méridiens qui sont des chaînetles; de même, les hélices de la première correspondent aux parallèles de la seconde.
Le théorème précédent est un cas particulier d'un théorème plus général, dû à Bour {Journal de P Ecole Polytechnique^ XXXIX* Cahier, p. 82) : Les hèlicoides sont applicables sur des surfaces de révolution.
>• Signalons, en passant, une importante propriété de la caténoïde. On a vu (n* 491) que les rayons de courbure principaux d'une surface de révolution sont celui de la
méridienne et la longueur de la normale limitée à Taxe. Or il est facile de voir que, dans la chaînette, la normale, ainsi définie, est égale et de sens contraire au rayon de courbure, et nous démontrerons, dans le second volume, celte propriété caractéristique. Donc, dans la caténoïde, les deux rayons de courbure principaux sont, en chaque point, égaux et de signes contraires. On appelle surfaces minima^ celles pour lesquelles les rayons de courbure principaux sont, en chaque point, égaux et de signes contraires. La caténoïde est donc la seule surface niinima de révolution.
►. Plusieurs remarques se présentent à propos de l'exemple qui vient d'être traité. On voit d'abord que le ds'^ de la caténoïde ne s'est pas présenté immédiatement sous la môme forme que celui de Thélicoïde, et qu'il a fallu effectuer un changement de variables ; ici le changement a été très simple. Mais il peut y avoir des cas où le changement à effectuer est plus compliqué et, malgré les nombreux travaux des géomètres sur l'application des surfaces, le problème général, qui est désigné sous le nom de déformation des surfaces, est loin d'être résolu. Nous donnerons plus loin (n** 531) une condition nécessaire pour qu'une surface puisse êlre appliquée sur une autre, et nous traiterons en particulier le cas des surfaces applicables sur un plan, qui sont les surfaces développables. Nous devons faire observer que le problème de la déformation est soumis à toutes sortes de restrictions : le lecteur, que ces questions intéressent, consultera avec fruit les Levons sur la Théorie des surfaces^ de M. Darboux (livre I, chap. vm et passim),
530. Quoi qu'il en soit, et quelques variées, en apparence, que soient les surfaces qui ont un même rfs^, il est bon de se rendre compte que ces surfaces sont au fond bien déterminées par le ds-. En effet, si l'on donne
ds^ =z Edii^ + '^Fdudv -f- Gdv^,
les trois éq uations
m + iïï + iïï = '■
iïï + ® ' + ar = '^^
définiront, à des fonctions arbitraires près, introduites par l'intégration, les trois inconnues x^ y, z, en fonction de u et de V.
531. Démontrons maintenant le théorème fondamental de Gauss : Toutes les surfaces applicables sur une même surface ont même courbure totale. On appelle courbure totale d'une surface, en un point, le produit des inverses des deux rayons de courbure prijiicipaux.
En effet l'équation (62) donne pour la courbure totale (Notations de M. Darboux) :
