FH + C

oii G désigne une constante quelconque, sera encore (n" 33, 3°) une fonction primitive de / [x). Réciproquement, toute fonction primitive de / (./•),ne pouvant différer de F [x] que par une constante (n° 40), résultera de (7) par un choix convenable de la constante G.

Veut-on, par exemple, la fonction primitive qui prend la valeur A pour x = a'^ on choisira G de telle sorte qu'on ait

F [a) -f C = A, G = A — F {a), A + F (jc) — F [a) pour la fonction primitive demandée.

ce qui donne et par suite

En particulier,

sera celle des fonctions primitives qui s'annule pour^^«.

42. Ainsi, en revenant au problème des quadratures et désignant par a l'abscisse Oa de l'ordonnée fixe aA (n° 4), comme Faire du trapèze mixtiligne aAM;j. s'annule pour a; = «, on obtiendra l'expression de l'aire de ce trapèze en cherchant une fonction primitive F [x) (n'importe laquelle) de la fonction / [x) qui exprime l'ordonnée courante \jM. de la courbe PQ, puis retranchant de F [x) sa valeur F [a) pour x= a.

Fonction croissante on décroissante

.43. On dit qu'une fonction / (jp) est croismnle dans im intervalle donné [xq^ X) si, pour tout système de deux valeurs a qï b prises dans cet intervalle, l'inégalité

entraîne

Si, au contraire, l'inégalité (9) entraîne

nb)<r{a)

la fonction est dite décroissante dans l'intervalle considéré.

Pour qu'une fonction continue f [x) soif croissante dans un intervalle (x^^ X) il faut et il suffit que sa dérivée soit constamment j)ositive dans cet intervalle^ sauf pour une ou plusieurs valeurs isolées de x qui annident cette dérivée.

La condition est nécessaire : En effet, puisque la fonction

est croissante dans l'intervalle [xq, X), le rapport

est positif. Donc, sa limite lorsque, a restant fixe, b tend vers «, c'est-à-dire /' («), est positive ou nulle. Ainsi pour toute valeur a comprise entre Xq et X, la dérivée /' {x) est positive ou nulle. D'ailleurs, elle ne saurait être nulle pour un intervalle fini, compris entre Xq et X, si petit qu'il soit, vu que la fonction serait constante dans cet intervalle, tandis qu'on la suppose croissante.

Pour prouver que la condition est suffisante, nous distinguerons deux cas :

1° Supposons/' [x) constammentpositive dans l'intervalle {xq, X). Pour tout système de valeurs a et b comprises entre Xq et X, on aura, par le théorème des accroissements finis,

c étant une valeur comprise entre a et b; mais /' [c] est positif ; donc l'inégalité (9) entraine l'inégalité (tO) et par suite / [x) est croissante dans l'intervalle [xq, X) ;

2° Supposons que /' (x) soit positif dans l'intervalle (.^q, X) sauf pour un nombre fini de valeurs qui annulent cette dérivée. Considérons un intervalle («, b) compris entre Xq et X et soient

ut/ I k tAj- i) ^ xAJ o ■ ■ ■ i-t- f^

les valeurs de x comprises entre a et b qui annulent /' (j), ces valeurs étant supposées rangées par ordre de grandeur croissante. On aura par le théorème des accroissements finis

f ix^) —f{a) = {x^ —a)f (c),

c étant un nombre compris entre a et vr,, mais qui n'est ni ff, ni x^ ; /"' [c) ne sera pas nul puisque, entre a et ./j, il n'y a aucune valeur de x qui annule /' [x) ; donc /' (c) sera

positif et comme x^ — a l'est aussi, on aura

f{x,)—f(a) > o; on démontrerait de même les inégalités

d'où l'on tire par addition

ce qui prouve que / {x) est croissante dans l'intervalle (j-q, X), puisque a et b sont choisies à volonté dans cet intervalle.

On démontrerait d'une manière analogue la proposition suivante :

Poirr qirune fonction coniiriiie f [x) soit décroissante dans un intervallp [xq, X), il faut et il suffît que sa dérivée soit constamment négative dans cet intervalle, sauf pour une ou plusieurs valeurs isolées de x qui annulent cette dérivée.