eh

et le rapport (1) a pour expression

Or, ce rapport a pour limite zéro lorsque li tend vers zéro par des valeurs positives, et il a pour limite 1 lorsque h tend vers zéro par des valeurs négatives. La fonction proposée n'a donc pas de dérivée déterminée pour x = 2.

35. On a signalé, dans ces derniers temps, des fonctions continues dont la de'rivée n'est déterminée pour aucune des valeurs de la variable comprises dans un intervalle fini. Mais ce sont là des fonctions anormales qui ne jouent aucun rôle dans les applications et dont il ne saurait être question dans cet ouvrage. Nous ne considérerons que des fonctions ayant une dérivée déterminée, sauf pour certaines valeurs isolées de la variable.

Mais avant d'étudier les règles de la dérivation, nous devons faire connaître quelques propriétés des dérivées qui offrent un grand intérêt.

Principe de Uolle

36. Si F{x) .s'annule pour x = a et pour x = b^ et si sa dérivée F' [x] est déterminée pour toute valeur de x comprise dans r intervalle («, è), il existe^ dans cet intervalle^ au moins une valeur de x pour laquelle la dérivée B' {x) est égale à zéro.

En effet, F(ir) admet certainement dans l'intervalle («, b) des valeurs différentes de zéro ; car, si elle était constamment nulle dans cet intervalle, il en serait de même de sa dérivée, et le théorème serait démontré.

Supposons, par exemple, que F [x) admette des valeurs positives dans l'intervalle («, ô), et considérons la plus grande F (c) de ces valeurs positives; la quantité r, qui, d'après sa définition, appartient à l'intervalle («, ô), ne saurait être ni a ni ô, car F (c) est positif, tandis que F [a) et F [b] sont nuls. Donc, si l'on désigne par h un nombre positif tel que c — h et c + /i appartiennent à l'intervalle («, b), les diflérences F (c — h) — F (c), F(c + h) — F (c) seront négatives et par suite les rapports

seront, le premier positif, l'autre négatif. Mais, puisque la fonction V {x) admet pour x:=-c une dérivée déterminée, les

deux rapports en question doivent tendre vers une limite commune lorsque h tend vers zéro. D'ailleurs, le premier, qui est positif, ne peut tendre que vers une limite positive ou nulle, et le second, qui est négatif, ne peut avoir qu'une limite négative ou nulle ; donc cette limite commune est nulle et Ton a F' (c)^o.

Cette proposition attribuée à Rolle est d'une grande utilité en analyse, notamment dans la théorie des équations.

Théorème des accroîsseiiieiits iîiiîs

37. Si F{x) et o{x) ont des dérivées déterminées dans V intervalle [a, 6), et si o [x] ne s'annule pas dans cet intervalle^ on aura

F(5) - F(^) ^ Ffc)^ cp (ij — cp [a) (Sj' (c)

€ étant nn nombre convenablement choisi entre a et b. En etfet, la fonction

^[x)=¥ [x] -Fia)- — J^-^^^""! ['f {x) — CD (a)],

s'annule évidemment pour ./• = a et pour x = b. D'ailleurs, pour toute valeur de x située dans l'interv^alle («, b), elle a une dérivée déterminée, car on a

^ [x] — Y {x) -77 7— cp ix).

Donc, d'après le théorème de Rolle, cette dérivée s'annule pour une certaine valeur c de ./- comprise entre a et 6 ; de là résulte la relation

, Y{b)-Yia) ,

■ ' cp [h] — cp (a) ^ ^ -

et par suite la relation (4), que l'on déduit de la précédente en divisant par la quantité o [c] qui, par hypothèse, n'est pas nulle.

38. On écrit souvent cette formule d'autre façon. On peut toujours poser :

a = a?, b z=z X -\- h et c =^ x -\- bli \

h étant ici un nombre fmi d'ailleurs positif ou négatif, et ft un certain nombre, inconnu, mais compris entre 0 et 1 ; la formule (4) devient ainsi

cp [x -j- h) — cp (^) "" tp' [x -\- 6/?)

Dans le cas particulier où o {.r) =jr, ona

relation fondamentale à laquelle on donne le nom de formule des accroissements finis ; on voit qu'elle suppose F [x] continue, mais non F' (j), qui n'est astreinte qu'à avoir des valeurs déterminées entre x ei x -\- h.

Conséquence relative iv (itiux^ fonctions ayant la même dérivée

30. On a vu que si une fonction est constante dans un certain intervalle, sa dérivée est nulle dans le même intervalle.

La réciproque est vraie et résulte immédiatement de la formule (6).

En effet, soient x ei x-^h deux valeurs quelconques comprises entre a et b, et supposons F' {.x) constamment nulle dans l'intervalle («, b) ; le second membre de la relation (6) sera nul, et par suite on aura :

ce qui prouve que la fonction F [x) a la même valeur pour deux valeurs quelconques de x choisies à volonté dans l'in-

tervalle («, b). Ainsi, lorsque la dérivée F' [x) d'une fonction est co)istamment nulle dans un intervalle (r/, b), la fonction est constante dans le même intervalle.

•40. Il suit de là que si deux fonctions f [x] et cp [x] ont des dérivées respectivement égales pour toutes les valeurs de X comprises dans un intervalle [a, /v), leur différence reste constante dans cet intervcdle.

En ellet, en posant -^ [x) = /' {x) — ç> (.r), on a

or, par hypothèse, <h' [x] est nulle pour toutes les valeurs de X comprises entre a et b ; donc à {x) est constante dans l'intervalle [a, b).

On énonce plus rapidement ce théorème en disant que deux fonctions, qui ont la nu'nw dérivée^ ne peuvent différer que par nne constante.

W. On entend par fonction primitive (n" 5) d'une fonction/ [x] une fonction assujettie seulement à admettre /' (.r pour dérivée.

Soit F [x) une fonction primitive de / (/ ). L'expression