Voici des exemples simples

1° Soit F [x) = ax H- è ; on a F' [x) = a. Si donc a est positif, F (x) est toujours croissante, et si a est négatif, F (j) est toujours décroissante; 2" Soit

F (.t) = ax'^ -f- hx -\- c\ on a

F' [x] = '2.ax -f- b.

Cette dérivée s'annule donc pour jç = — — • Si a est positif, F' [x) est négative pour les valeurs Aq x moindres que — ^ et positive pour les valeurs de x qui surpassent cette valeur ; donc le trinôme aj!^ -]- bx -\- c décroît dans l'intervalle ( — 00 , — — j et croit dans l'intervalle

I — 9~' + '^ I ' en sorte qu il est minimum pour x =^ — - —

Lorsque a est négatif, c'est l'inverse qui a lieu ; F' [;.£) est

positive pour x <i — ^' et négative pour r >> — ^' le trinôme croit dans l'intervalle ( — ce — -— ) et décroît dans

l'intervalle ( — r-, + ^ ) 5 il est maximum pour ./■ = — r — \ 2a J ^ 2a

3° Soit

F ix) = ax^ -\- bx"- 4- r:v 4- d; on a

Si b- — ?>ac est négatif, le trinôme du second degré F'(^) est, d'après un théorème connu, toujours de même signe que son premier terme ; F [x] est donc toujours croissante, si a est positif, ou toujours décroissante si a est négatif.

Si ^- — ?)ac est positifs le trinôme F' (./) s'annule pour deux valeurs réelles de x ; désignons ces deux valeurs par a et [3, et soit a << i3i 1^ (-'") est alors de même signe que son premier terme, sauf pour les valeurs de x comprises entre a et [3. Donc, en considérant les intervalles,

on voit que, si a est positif, F [x] croit dans les intervalles extrêmes et décroît dans l'int^êrvalle moyen, tandis que, si a est négatif, F {x) croît dans l'intervalle moyen et décroît dans les intervalles extrêmes. Dans le premier cas, y. répond à un maximum et 3 à un minimum ; dans le second cas, a répond à un minimum et ^3 à un maximum.

Dérivées des ïoiictions simples

45. Nous donnons le nom de fonctions simples aux trois fonctions : x"' [m élant entier et positif), logj:- (prêtant positif) et sinr.

Quand on connaîtra les dérivées de ces trois fonctions, les règles de dérivation des fonctions de fonction, des fonctions inverses et des fonctions composées permettront de calculer les dérivées de toutes les fonctions susceptibles d'être exprimées explicitement par les signes usités en Algèbre et en Trigonométrie.

La dérivée ^'", m étant entier et positif, est déjà connue (n° 33); elle est égale à mx'"'\

Il ne reste donc qu'à chercher la dérivée de log^ et celle de sin^.