MM'' = MC X 2R
d'où, pour valeur principale de la distance de M' à la tangente en M,
MC = 0 = ~ ds\ 2R
C'est la formule donnée sans démonstration au n° 418.
Sphère osculalrice
420. Considérons une sphère quelconque passant par le cercle osculateur en M. La distance M'H du point M' à la circonférence osculatrice est du troisième ordre ; par conséquent la distance de M' à la sphère qui est inférieure, mais, en général, comparable à M'H, est aussi du troisième ordre. Il y a exception pour une sphère limite de celle qui passe en M' : c'est la sphère osculatrice.
Etablissons son existence par le calcul, et calculons son rayon. Soit
(X - ^^o)-^ + (Y - Po)' + (Z - ^-o)-^ - R-^ = o
l'équation de cette sphère; d'après la théorie de l'osculation, on doit remplacer X, Y, Z, par les coordonnées x, y, r-, du point M, puis différentier trois fois. Nous prendrons l'arc s comme variable indépendante ; on aura
(^ - ^o)' -f (y - y,)' + [^ - z,Y - \\l = o, (35) puis
OU, en employant les notations du n° 417,
[x — x^,) a + (y — ?/,) p + U — z^) Y = o. (36) Différentions de nouveau ; nous obtenons l'équation
que les formules de Frenet (30) permettent d'écrire
{x — x^) l -f [y — y^) ji. + (^ — z^) V + R = 0. (37) Différentions une troisième fois ; il vient
(Va . , du. (h (IK
(^ - ^o) ds + ^^' - y^^ ^; + ^' -^^^ds^~s = ^'
parce que
aX -j- p[J. -|- yv = 0.
Remplaçons encore les dérivées de X, [j,, v par leur» valeurs (34). Nous obtenons enfin l'équation
ou plus simplement à cause de (36)
Les équations (36), (37), (38) déterminent ^q, y,,, Sq et (35) donne Rq ; mais il suffit d'élever au carré les trois premières équations, après avoir isolé les quantités connues dans les seconds membres et de les ajouter membre à membre, pour obtenir, en vertu des relations bien connues qui lient les cosinus directeurs d'un trièdre trirectangle,
Il est à remarquer que les équations (36), et (37) coïncident, aux notations près, avec la deuxième et avec la troisième équation (26). Le centre de la sphère osculatrice se trouve donc sur la droite polaire, et cette sphère contient le cercle osculateur.
421. La formule précédente montre que le rayon de la sphère osculatrice ne peut être égal au rayon de courbure que si
L'annulation du facteur - n'offre pas d'intérêt; elle ne
donne comme courbes réelles que des droites. Au contraire, les courbes définies par l'équation
dR
7^ = °' méritent d'être étudiées. Dans ce cas
Ro -- f^'
le centre de la sphère osculatrice coïncide avec le centre de courbure, et c'est le seul cas oii la coïncidence dos deux centres soit possible.
Cherchons, dans ce cas, le lieu du centre de courbure. En différentiant totalement les équations (36) et (37) où .i-q, //„, Zq sont maintenant considérées aussi comme des fonctions de n, on trouve, (/(ins tous les cas,
. (Is ' rt.S' (Is
Le centre de la sphère osculatrice décrit donc (oujours une courbe dont la tangente, perpendiculaire à la tangente
MT de (C), et à sa normale principale, n'est autre que la droite polaire. Donc, dans les courbes à courbure constante, le lieu du centre de courbure est une courbe (Cq) tangente à toutes les droites polaires, et l'on peut déjà remarquer en passant que, contrairement à ce qui se passe dans les courbes planes, le lieu des centres de courbure de (C) n'est pas tangent ici aux normales principales. Le plan osculateur de (Cq), mené par une droite polaire parallèlement à la droite polaire infiniment voisine, se trouve perpendiculaire à deux plans osculateurs successifs de (G) ou à leur intersection, c'est-àdire à la tangente MT. Gomme, d'autre part, le plan normal de (Gq) n'est autre que le plan osculateur de (G), la droite polaire de (Cq) se confond avec la tangente de (G). 11 y a réciprocité complète entre les deux courbes.
Ajjplicatioii des théories précédentes ù l'hélice
421^. On sait que l'hélice est une courbe tracée sur un cylindre et telle que l'ordonnée d'un point est proportionnelle à son abscisse curviligne. (On appelle ordonnée d'un point la portion de génératrice du cylindre comprise entre le point et le plan d'une section droite fixé arbitrairement, abscisse curviligne, l'arc de cette section droite, compté depuis une origine donnée jusqu'au pied de l'ordonnée.) Il résulte immédiatement de la définition que la tangente à l'hélice fait un angle constant avec les génératrices du cylindre. Nous allons, dans ce numéro, retrouver cette propriété et quelques autres, en nous bornant au cas du cylindre de révolution ; les équations de l'hélice sont alors
X = a ces cp, y =r /« sin o, ^ = w?acp.
On en tire
dx = — a sin(pf?|-, dy = a cosodv, dz — mad-jj,
ds = a Vl 4- m''^ do =r do,
ces 0
en posant
m = tang 6. ,
Gomme -j- =m . cosO ^= sin6, la tangente à r hélice fait
un angle constant avec l'axe du cylindre.
D'ailleurs les cosinus directeurs de la tangente auront pour valeurs
a = — sinocos^, B =: ces cp cos 6, Y = sini5.
Les quantités A, B, G (12), qui figurent si fréquemment dans la théorie des courbes gauches, se calculent aisément
A = ma^ sintp, B := — ma'^ cos-^, C = «^
On en tire
A2 -j- B--^ -I- C2 = a" im' + 1) = -^■
La courbure (13) et le rayon de courbure auront donc pour expression
ces 9
CCS 2 9
le rail un de courbure de r hélice est constant.
Les cosinus directeurs de la droite polaire peuvent s'écrire immédiatement
; = sin o sin 0, -/] -- — sin 0 cos -i, '(, ^ cos 5.
Gette droite est perpendiculaire au rayon du cylindre dont les cosinus directeurs sont
coscû, siiio, o.
Donc le plan o'sculateiir en un point de l'hélice, qui est perpendiculaire à la droite polaire, contient le rayon du cylindre, ou encore est perpendiculaire au plan tangent du cylindre; la normale principale de l'hélice se confond avec le rayon du cylindre.
Nous verrons plus loin qu'on appelle lignes géodédques d'une surface les courbes dont le plan osculateur contient la normale à la surface; l'hélice est donc une ligne géodésique du cylindre. Si Ton admet, ce que nous démontrerons, que, sous certaines réserves, une ligne géodésique est le plus court chemin qu'on puisse tracer sur la surface, entre deux points de celte ligne, la propriété, qui vient d'être énoncée, était évidente puisque l'hélice, dans le développement du cylindre, devient une ligne droite.
Cherchons en tin la torsion; le déterminant (25), qui figure au numérateur, a pour expression
D = kx" + B.v'" + Cz'" = ma\ Donc
m cos^ 0 sin ^ cos B
La torsion est constante.
423. L'hélice est la seule courbe qui ait sa courbure et' sa torsion constantes. Nous allons même démontrer que les seules courbes, pour lesquelles le rapport de la courbure à la torsion est constant, sont des hélices tracées sur un cylindre à base quelconque.
Les formules de Frenet (30) et (31) donnent
dv. d^ dy R
— :r3 — — ::^: — ::^ — =r Cl, Cl^ d-fi d^ T ^
a étant une constante. On en déduit
A, B, C, étant de nouvelles constantes. Multiplions ces trois équations respectivement par a, lîl, -(, et tenons compte des relations connues
rj.^ -\- P -\- y^ = i r,l + p2 + ,^^ ^ O
Nous obtenons l'équation
Aa + Bp + Cy = 1, (41)
qui exprime que la tangente à la courbe fait un angle constant avec la droite
Le théorème est donc démontré; mais nous allons prouver en outre que, si la courbure et la torsion sont constantes, le cylindre, sur lequel est tracée l'hélice, est à base circulaire.
Nous prendrons la direction des génératrices du cylindre pour axe des :;(A = o, B = o). L'équation (41) devient
| = T-^, d'où: ^-^ + ^S, m
et la troisième équation (40) donne, pour 'Ç. une valeur constante, qu'il est inutile de calculer. La dernière équation (30) donne, puisque fA; = o,
c'est-à-dire que la normale principale, pour toute hélice, est perj)endicalaire aux génératrices du cylindre. La première l'ormule (32 his) devient alors
et de même on a
