XC

Mais les formules (30) donnent encore

A = In. — -• a = K -7-5

as ' (Is

de sorte que les équations précédentes peuvent s'écrire

as as

On en déduit sans peine

^;^ + Pi = °' a2 + p2^m^ (43)

ds ' r/s 1 85 — S(,

-7m=T^ = RC' arctang;^ = -j^',

m et ^0 étant des constantes. La dernière équation donne

f = tang^'

et en combinant avec l'équation (43)

^2 — - ^2 (3Qs2 — — — ^, 32 = j/z2 sill' — 5—

On peut évidemment choisir le signe en extrayant les racines carrées et poser

dc€ s — s,^ , dy . s — 5,,

a = — r- -■= »'i ces — TTZ — 1 6 = -r- = m SUl ■

ds KC ' ~ ds ~ RÇ

On en déduit

ûo = mRC sin ,3^ " -f- x^, y = — mR?; cos ^^ - + y„-

Ces deux équations, jointes à l'équation (42), définissent une hélice tracée sur le cylindre de révolution, qui a pour

équation

4ii4:. Les raisonnements faits dans le paragraphe précédent ont supposé essentiellement les constantes réelles ; c'est sous cette réserve que l'équation (41) a pu être considérée comme équivalente à la suivante

Ag 4- Bp + Cy 1

VA2 -f- B^ + C-^ V A'^ + B-^ + C2

dont nous avons donné l'interprétation géométrique. Examinons le cas oii l'on aurait

et supposons toujours la courbure et la torsion constantes. Les formules (40) donnent alors

(a - (l'if -\- (p - a-ri)--' + (y - al^f = o ou

Prenons

a = sj — 1 = /,

et, en portant la valeur de ; dans la première équation (34),

dX = — ( p H '■ — T ) ds.

R Mais

(1'% cIa = R -r-5 ds.

ds^

L'équation qui définit a est donc

r/^Qc a a — A

ds' R i

CALCLL INFINITÉSIMAL. 28

Mais, par définition (n° 423), on a

a ou en tenant compte de la valeur actuelle de a

Rt = — i.

L'équation en a est donc simplement ^ (Pa A

Elle donne pour y. un polynôme du second degré en .s', et pour X un polynôme du troisième degré. Il en serait de même pour y et pour ^, et la courbe est une cubique gauche imaginaire (M. Lyon, Thèse sur les courbes à torsion constante).

4:25. Nous avons envisagé plus haut les courbes à courbure constante. Les courbes à torsion constante ont fait, depuis quelques années, l'objet d'intéressants travaux dont les auteurs se sont efforcés d'obtenir des courbes algébriques ^

Enveloppes des courbes

426. Lorsque les équations d'une courbe renferment un paramètre variable, en faisant varier ce paramètre, on obtient une famille de courbes, et l'élimination de ce paramètre conduit à l'équation d'une surface contenant toutes ces courbes. // n existe pas en général de courbe tangente à toutes les courbes dhcne même famille ; en d'autres termes,

1 Nous venons de parler de la thèse de M. Lyon. M. Fouché, par une élégante méthode, a donné de nombreuses solutions, en général imaginaires [Annales de VEcole Normale, 1890, p. 333). M. Fabry a déterminé [Annales de l'Ecole Normale, 1892, p. ill) un certain nombre de courbes algébriques réelles à torsion constante. On peut encore consulter un mémoire de M. Koenigs dans les Annales de la Faculté de Toidouse (1887), et une note de M. E. Cesserai (C. iR., 1895, p. 1232). Mais la question est loin d'être élucidée, même en se bornant aux courbes algébriques.

une famille de courbes n'a pas d'enveloppe. C'est ce qui a lieu, par exemple, pour les ge'nératrices d'un hyperboloïde. Le contraire peut cependant se produire : ainsi les droites polaires d'une courbe gauche sont tangentes au lieu des centres des sphères osculatrices.

427. Nous chercherons d'abord à quelle condition une famille de droites a une enveloppe (la surface réglée, lieu de ces droites, est dite alors surface développahle).

Soient

^-^'> =. y - yp = 2 I^ilo ^ n,^.

les équations d'une droite. Les quantités a:^, y^, z^^, a, ^, y^ dépendent d'un paramètre t et, pour une valeur de t donnée, à chaque valeur de p correspondra un point de x, y, z de la droite par les équations précédentes. Si l'on considère p comme une fonction de t, il y aura, sur chaque droite, un point déterminé dont le lieu s'obtiendra en éliminant t entre les équations (44) ; ce sera une courbe. Dans le cas oii les droites ont une envelopp;', une des courbes qui viennent d'être définies sera tangente à toutes les droites; la tangente en un point x, ?/, z de cette enveloppe se confondra avec Ja droite donnée, et les cosinus directeurs de cette tangente qui sont proportionnels à cli., dy, dz, devront vérifier la relation

dx dy dz

Or les équations (44) donnent x, y, s, et par suite

dx = dx^ -|- pc/y. -|- ac/p, dy = dy^ + prf[3 + p4, dz = dzQ -j- pr/y -j- y dp.

Les égalités précédentes peuvent s'écrire, à cause de (45),

dXf, + p^''^- -|- (/^p — "^^(^li 'j^ = o j

dz, + pr/y + (dp \dl) y = G )

= \dt. (4o

et elles n'admettent de solutions en p et dp — Idt que si

dûOf^ dcL

dPo df^

dz^ dy Y

Cette condition, nécessaire, est suffisante en géne'ral; car on peut alors déterminer p et dp — kdt. Nous laisserons au lecteur le soin de faire la discussion complète des équations linéaires (46).

Si les 'équations de la droite sont sous la forme plus maniable

la condition (47) devient

dx^d^ — doidy^ = o, (49)

et cette condition aurait pu être obtenue directement, en exprimant que la droite (48) a un point commun (aux infiniment petits du second ordre près) avec la droite infiniment voisine. En effet la différentiation des équations (48) donne

zdix -j- dxQ = 0, zdp -\- dt/Q = o,

et la condition pour que ces équations soient compatibles avec les équations (48) s'obtient immédiatement en éliminant z entre les deux dernières. On retrouve ainsi l'équation (49).

428. Vérifions, par exemple, que les droites polaires ont une enveloppe. Pour cela, nous devons d'abord tirer des équations (27) les coordonnées du centre de courbure que je désignerai para:^^, ^/q, :^Qau lieu des lettres a, j3, y; on trouve, en prenante comme variable indépendante,

et les équations de la droite polaire sont

y — yp ^ — ^0

C'est la forme (44) ; la condition (47) peut donc être employée

dxç^, f/A, A

dy^, c^B, B

En développant ce déterminant et se reportant aux formules (28) et suivantes, on trouve Téquation

dx dXf, dy dy^^ . dz dz^

ds ds ds ds ds ds

qui à cause de (50) s'écrit

Y^ /dœ\^ yry dx 2j\ds) +2jc?5

dxd^x

ctou et Ou

^\dsj Mais

ds ds^ A^+B^-fC^ c^s A^+B^+C^ ^ ds ds

1 ^axcfx ,„.,

/dx\^ \ds)

On en déduit, en différentiant, ■^ dx d'^x

^ sit=-i:(|f)^=-('^-^+B-^+^^)-

comme on l'a déjà vu (16). L'égalité (51) est donc une identité.

429. Au contraire, les normales principales dune courbe gauche nont pas crenveloppe. En effet les équations de la

normale étant

la condition (47) s'écrit

dy ds

dy ds ~

— Ir,

On a donc

dz dl

En ajoutant à la seconde colonne la première multipliée

par —•> changeant les signes et mettant t en facteur, on trouve

Mais le déterminant a pour valeur ± 1 ; la condition pour que les normales principales aient une enveloppe est

c'est-à-dire que la courbe doit être plane.

430. On traitera le problème général d'une manière analogue. Définissons par les équations

X = f[ii^ v) [ z = 'J;(m, v)

les courbes d'une famille. Si v reste constant, en faisant varier if, on aura une courbe particulière (C) de la famille, et la tangente en un point de cette courbe aura pour équations

X — OG Y — 1/ 7j — z

IL 2z ^

^U 'du L>lt

Considérons maintenant u comme une fonction de v ; si on se donne v, on déterminera simultanément une courbe et un point de cette courbe, et le lieu de ce point s'obtiendra en éliminant v, ce qui donnera une courbe (C). S'il existe une courbe (C) tangente à toutes les courbes (G), on devra pouvoir déterminer u en fonction de v, de manière que la tangente à (C) se confonde avec la tangente à (C), dont les équations sont

df du . df do dit ^.do M^ hi t^ du dv dv du dv dv du dv dv

Pour que ce soit possible, il faut et il suffit que

-j- a disparu. Le problème n'est donc pas possible en général, puisque les équations (52), jointes aux équations de la courbe, déterminent un certain nombre de points, et non une courbe. Les équations (52) expriment les conditions de possibilité du problème.

En posant

/ {U, V) = CCU -\- Xq, cp(M, v) = pW +2/0, .];(W, v) = fU -^ Zq,

et faisant l'hypothèse que a, [3, X, x^^ i/q, Zq sont des fonctions de ?) seulement, on obtient les équations d'une famille de droites ; les équations (52) deviennent

a'u -)- i^o b'v. -j- i/q c'u -\- Zq

et il suftit d'éliminer n pour retrouver la condition (47).

Il est évident qu'on pourrait aussi, dans le cas général, éliminer u tant dans les données qu'entre les conditions (52) ; nous rencontrerons plus loin ce procédé de calcul. Nous n'y insisterons donc pas pour le moment.

431. Les mêmes résultats peuvent être retrouvés par des considérations tout à fait différentes. On sait, en effet, que la plus courte distance 0 de deux droites dont les équations sont

a pour valeur, au signe près.

X j^ Xq

V(ap, - {i..,r + (pY^ - y{i,r + (t«^ - ^Y^Y Or, si les deux droites sont deux positions successives des

droites d'une même famille, on aura

y^ = î/o + ^Vo

li =1 + ^T = Y + (h -f- 9 ^^2T + ^ f^sY +

et la valeur principale de 5 sera

(^Vo

dz^

doL

rZy

Cette expression est du premier ordre. Pour qu'elle soit d'ordre supérieur au premier, il faut que

dx^,

rfy

C'est la condition (47). Ainsi la plus: courte distance o de deux droites infiniment voisines est^ en général^ dit premier ordre : pour quelle soit d'ordre supérieur^ U est nécessaire et suffisant que les droites de la famille soient les tangentes d'une même courbe. Nous allons montrer que, dans ce cas, comme nous l'avons énonce, n" 418, o est, en général, du troisième ordre. Les termes du second ordre sont

llx{d^(d-y^ -\- dy^d-y — d^-z^., — dz,,d-^) . VS [y.d^ — ^dy.f ' ■

le numérateur, étant la dérivée du déterminant qui précède, est nul, ce qui démontre la proposition.

43—. M. Darboux a étendu le théorème précédent, qui est du à Bouquet, au cas de deux courbes infiniment voisines d'une même famille; leur plus courte distance est du

premier ordre, à moins qu'elles n'aient une enveloppe, auquel cas cette distance est du troisième ordre au moins.

Enveloppes de surfaces à un paramètre

4^ii',i. Lorsque l'équation d'une surface (S) renferme un paramètre variable a, en faisant varier ce paramètre, on obtient une famille de surfaces. Chaque surface coupe la surface infiniment voisine, suivant une courbe qu'on appelle la caractéristique de la première surface ; nous démontrerons que le lieu géométrique de ces caractéristiques est une surface (2), tangente à toutes les surfaces (S), et que les caractéristiques ont elles-mêmes une enveloppe. La surface (S) est dite V enveloppe des surfaces (S), qui sont les envelojjpées; l'enveloppe des caractéristiques s'appelle V arête de rehrous sèment,