Ces formules offrent certaines commodités pour

le calcul. Proposons-nous, par exemple, de calculer les

cosinus directeurs de la normale principale en fonction de

71 /- dx ^ du dz , ,, , /^ ^

lare. Lomme a = nr> 3= / ' y = t"' It^s formules (30)

ds ds ds ^ '

donnent sous la forme la plus simple

o d'os „ d'-y „ d-z

ds^ ' ds- ds^

et les formules de changements de variables permettraient d'exprimer "a, ;x, v, en fonction d'une variable quelconque. Mais le calcul que nous venons de faire a une plus haute portée; en effet, nous avons obtenu, en fonction des quantités a, 3, Y, A, ij,, V, et des courbures, les dérivées premières et secondes des coordonnées d'un point courant de (G), par rapport à l'arc s. En prenant, de nouveau, les dérivées par rapport à s, dans les équations précédentes, on introduira les dérivées troisièmes des coordonnées, et, dans les premiers membres, les dérivées de a, [x, v ; mais ces dernières s'expriment (3i) en fonction des cosinus a, (3, y, ;, •^, ^, et l'on pourra de môme obtenir successivement toutes les dérivées des coordonnées en fonction des cosinus directeurs du trièdre mobile. Par suite, dès qu'on connaîtra la courbure et la torsion en fonction de l'arc

et qu'on aura de plus, pour une valeur Vq donnée de s, les valeurs initiales des coordonnées et des cosinus, .2^,, /y^,, ;,ii

«0' HO) Yo? ^>û' l-*'!)' ^\i (<1 oi^i -.[)i 'lih ^(i); ^'^ courbe gauche sera déterminée, et les coordonnées d'un point quelconque s'obtiendront, sans intégration, par des séries de Taylor, telles que

'd.A , (s — sS- fd:^aA- ,

dsj^^ ' 2 \ds}

Si on suppose, par exemple, les axes fixes coïncidant à Forigine des arcs avec le trièdre mobile, on aura

"=(1).='- (ii=(si),.=°' csi^^*'^'"-

et les développements en séries dont il vient d'être question donneront pour les premiers termes des coordonnées d'un point de la courbe infiniment voisin de l'origine M des coordonnées du trièdre mobile

Dans ces formules, k et - sont les valeurs de la courbure et de la torsion au point M ; k' la valeur au même point de la dérivée de la courbure par rapport à l'arc. La dernière de ces formules constitue une nouvelle démonstration de celle donnée au n° 416.

Ces trois formules ont été données, dès 1869, par M. Rouché, dans une note placée à la suite du Traité de Géométrie descriptive, de Tli. Olivier; nous empruntons à la même note les valeurs principales d'un certain nombre de quantités infiniment petites, qu'il peut être utile de connaître, et dont l'établissement n'est plus alors qu'un exercice de géométrie analytique.

La distance d'un point à la tangente au point infiniment voisin a pour vcdeur principale

0 = - kds-.

L'angle du plan oscuJateur en un point avec la tangente

ail point infiainient voisin a pour valeur principale

- I At I ds'^.

La plus courte distance des tangentes en deux points infiniment voisins a pour valeur pinncipale

— I At I ds^.

L'angle de la tangente en un point et de la trace, sur le plan osculateur en ce pjoint, du plan osculateur au point infininient voisin a pour valeur principale

- kds ;

c'est la moitié de l'angle de contingence.

L'angle et la plus courte distance de deux normales principales infiniment voisines ont pour valeurs principales respectivement

ds Slli^ + t2,

xds

Le plan osculateur en un point M fait avec le plan mené par la tangente en ce point M et par un point M' infiniment voisin un angle dont la valeur principale est

c'est-à-dire le tiers de l'angle de torsion.

La perpyendiculaire commune aux tangentes en deux points infiniment voisins, M et M', fait avec la binormale un angle dont la valeur principale est

Consîclél'atiolis géométriques

419. Par un point 0, menons des parallèles Om, Om', Oc, aux tangentes MT, M'T', et à la corde MM', d'une courbe gauche (G). Si le point M est ordinaire, les angles de Mï et de M'T' avec MM' sont évidemment de même nature ; en d'autres termes, dans le trièdre Omm'c, les deux faces

cOwz, cOm', sont des infiniment petits de même ordre; elles

sont donc aussi du rnême ordre que mOm', qui est Fangle de contingence de (G); elles sont du premier ordre par rapport à l'arc MM'. 11 en résulte que la démonstration donnée n" 338, pour les courbes planes, subsiste, et que, sauf aux points singuliers^ la distance d'un point d'une courbe à la tangente au point infiniment voisin est du second ordre par rapport à Varc qui unit les deux points.

Par la tangente en M, menons un plan P quelconque, et soit M'A la perpendiculaire abaissée de M' sur ce plan, M'B la perpendiculaire à la tangente MT. L'angle ABM' n'est pas infiniment petit, et, comme dans le triangle ABM', on a

M'A = M'B sin ÀBM',

la distance du point M' au plan P est du deuxième ordre. Il y a exception si le plan P fait avec le plan MBM' un angle infiniment petit, c'est-à-dire si le plan P occupe la position limite du plan MBM' (plan osculateur). La distance du point M' au plan osculateur est donc d'ordre supérieur au second.

Il résulte de la définition de la torsion et de considérations analogues à celles développées au commencement

de ce paragraphe que l'angle ABM' est, en général, du premier ordre, et, par suite, que la distance d'un point au plan osculateur est du troisième ordre en général. Le cercle osculateur, limite d'un cercle qui touche MT

en M et qui passe en M', est dans le plan osculateur. Soit dans le plan de ce dernier cercle, M'C perpendiculaire sur le diamètre qui passe en M, et Rj le rayon du cercle, on a