Soit

fix, y, 2-, }.) =r G (53)

l'équation d'une surface (S).

Une surface voisine aura pour équation

f{x, y, 2-, X -f- AÀ) = G

et son intersection avec (S) sera déterminée par l'équation (53) et par

En faisant tendre Aa vers zéro, on obtient les équations de la caractéristique

/•(ûc, y, z,l) = o )

Le lien des caractéristiques s'obtiendra en éliminant a entre ces deux équations; nous écrirons le résultat de l'élimination

f[cG, y, z, X) = G (55)

en indiquant par la notation a que a a été remplacé par sa valeur tirée de la seconde équation (5i).

Le plan tangent à l'enveloppée, définie par la valeur a, en un point (a^Q, y^, s^) commun avec l'enveloppe, a pour équation

(^-^■o)^^^^^'"S^'"^^^ + (y-yo)|+(^-^o)^-f=-o.(56)

Le plan tangent à l'enveloppe au même point a pour équation

Or, par hypothèse,

l'équation (57) se réduit donc à

et, comme a,, est égal à a (on le démontrerait exactement comme au n" 354), le plan représenté par l'équation précédente se confond avec le plan tangent à l'enveloppée.

4;35. Démontrons maintenant l'existence de l'arête de rebroussement. La caractéristique est définie par les équa-

tions (54), que nous reproduisons

f {oo, y, z,l) = 0 \

S'il existe sur cette courbe un point qui se déplace tangentiellement à la courbe, il sera possible de déterminer s en fonction de X, de manière que les différentielles prises dans cette dernière hypothèse coïncident avec celles prises en supposant X constant.

Les équations qui donnent ces différentielles s'obtiennent, dans les deux cas, par la différentiation des équations (54), ce qui donne :

1° Si X est constant,

y- dœ -4- ^ dy 4- -^ dz = o 1 ^2/- ^^f ;)Y

2° Si X est variable.

Dx

dx

dx

/ '\if ^~ ^'^f\

La première équation (59) coïncide avec la première équation (58), parce que, par hypothèse,

Il est donc nécessaire que la deuxième équation (59) coïncide avec la deuxième équation (58), ce qui exige

Les trois équations

permettent d'exprimer x, y, z en fonction de a, et par conséquent définissent une courbe tangente à toutes les caractéristiques. C'est l'arête de rebroussement.

436. Les équations (60) sont susceptibles d'une autre interprétation.

L'équation

d'une surface infiniment voisine de la surface (S) peut s'écrire, si la formule de Taylor est applicable,

r{œ, 2/, z, À) 4- AX l-h ^' 1^4- MAX3 =. o.

Cette surface coupe la caractéristique en des points qui, à la limite, se trouvent aussi sur la surface

Les points caractéristiques de cette caractéristique sont donc les points communs à cette caractéristique et à la surface infiniment voisine.

4.37. Théorème. — L'arête de 7'ebroussement a, avec chaque enveloppée^ irn contact du deuxième ord?x\

Soit M (x, y, z) un point de l'arête de rebroussement sur l'enveloppée, qui a pour équation

Soit Q {.x^, i/^, z^) un point de l'arête de rebroussement infiniment voisin de M. Il suffit (n° 407, 2°) de démontrer que /(j:,,?/j, Sj, Aq) est infiniment petit du troisième ordre par rapport à MQ. Or

MQ = sj[a, - x,Y + (y - y, Y + [z

et comme x, y, z sont des fonctions de a, x — x^^ y — ?/j, z — Sj sont, en général, du premier ordre par rapport à A a ; il en est de même de MQ'.

II ne reste donc plus à démontrer que f[x^, ?/j, 5j, Aq) est du troisième ordre par rapport à Aa. Cela résulte de ce que l'on a identiquement, en posant Aq = a^ H- Aa,

et de ce que, dans cette identité, les trois premiers termes sont nuls en vertu des équations (60).

438. Théorème. — V arête de rehroussemeat a, avec chaque caractéristique , un contact du premier ordre. Soient

les équations d'une caractéristique; j^q, ^q, z^^, les coordonnées

(') Posons 9 {x, y, :, X) == izlSlULjtJLA) . Le point {xi, j/,, Si) appartenant à

c'X- Farête de rebroussement, on aura, en appelant À] la valeur du paramètre infiniment voisine de \q :

0 — cp(a;i, «/i, Si, 11) — 9 (a; -|- x^ — x, ..., Xq + ).i — Xq)

= ç(.r, y, z, Xi) + (a:, — x) ^ + ... -]■ (Xi - Xq) ;^ + R.

OX (.'Xq

Le premier terme est nul par hypothèse (61 j; Téquation précédente définit X] — Xq en fonction des binômes .r, — x, yi — y, Zi — z ou de MQ.

Si T^ = r^ est différent de zéro, Xq — X, = AX est d'ordre égal ou supérieur dXo OXo»

à celui de MQ.

d"un point de cette caractéristique situé sur l'arête de rebroiissement; r^, yj, z.^ un point de l'arête de rebroussement infiniment voisin du premier, c'est-à-dire tel que

^Vfa7,, y,, ^,, X,)

A, étant égal à a,, — A a.

Il suflit évidemment de démontrer que '' '^' " ~''' — —

est infiniment petit du second ordre par rapport à Aa ; or on a identiquement

et les deux premiers termes du second membre sont nuls, parce que le point x^, y,, Sj, aj satisfait aux équations (62). Le théorème est donc démontré.

4.*i9. Il est clair que Fenveloppe des caractéristiques peut, comme toutes les enveloppes, se réduire à un système de points. Considérons, par exemple, un tore, enveloppe d'une famille de sphères égales dont les centres parcourent une circonférence donnée. Les caractéristiques sont ici les circonférences méridiennes, et l'arête de rebroussement se réduit aux deux points où toutes ces circonférences coupent l'axe du tore.

Surfaces développables

1t=îO. On b.\^[)g\\q surfaces déreloppahlcs les surfaces (Miveloppes de plans. D.ins ce cas, les caractéristiques sont des liornes droites, et l'arête de rebroussement est une courbe dont toutes ces caractéristiques sont les tangentes, ce qui s'accorde avec la définition d('j;i donnée n° 427.

Nous avons déjà remarqué, en étudiant les courbes gauches, que la plus courte distance de deux tangentes était du troisième ordre par rapport à l'arc de courbe qui unit leurs points de contact, et qu'une tangente pouvait être considérée comme intersection de deux plans osculateurs infiniment voisins. Il se trouve de nouveau démontré ici, comme application des deux théorèmes précédents : 1° que la distance d'un point de la courbe gauche au plan osculateur en un point infiniment voisin est du troisième ordre par rapport à l'arc de courbe qui unit les deux points ; 2" que la distance d'un point de la courbe à la tangente au point infiniment voisin est du deuxième ordre.

Dans les applications, le calcul se présentera souvent sous la forme suivante. Soit

z = px -\- qy -\- r,

l'équation d'un plan ; on doit d'abord supposer que les trois coefficients sont fonctions d'un même paramètre, du premier, p, par exemple. On a donc

et l'équation du plan s'écrit alors

z =px -\-y<D [p] -f- •} (p). (63)

Celles de la caractéristique sont

z = px -^r y^ {p) 4- 'h {p) }

et en éliminant p entre ces équations, on aurait l'équation de la développable.

Enfin les équations de l'arête de rebroussement sont

z =pX-\- y^L, {p) + ']> {p)

0 = X -\- ysJ [p) -\- y [p]

o = yf [p] + V {p)

441. Les surfaces développables satisfont à une équation aux dérivées partielles qui les caractérise. Considérons en efïet z comme fonction des deux variables x et //, et posons

dx oy

L'équation du plan tangent à une surface en un point .r, //, z^ étant

comme p et q doivent être fonctions d'un même paramètre si la surface est développable, on aura en premier lieu

Prenons les dérivées des deux membres de cette équation, successivement par rapport kx et par rapporta //; nous aurons

t = SZf' (p),

d'où, en éliminant '^'{p)-,

rt — «2 = 0. (66)

Réciproquement cette dernière équation peut s'écrire

le déterminant fonctionnel de p et de q est donc nul, et par suite

q = 'Si ip). (67)

Le terme constant de l'équation du plan tangent est

px -\~ qy — z,

CALCUL INFINITKSIMAL. 29

et le déterminant de ce terme et de p, c'est-à-dire

(rt — S-) y, est aussi nul. Donc

v^^ qy — z = '\ {p). (68)

Cela posé, cherchons de quelle nature est, sur la surface, la courbe le long de laquelle p conserve une valeur constante. L'identité (68) différentiée nous donne la nouvelle identité

xdp + ydq = y (p) dp,

OU, en tenant compte de (67),

^ -{- y^'ip) = Yip)-

Les points, pour lesquels p est constant, vérifieront par suite les deux identités

px -j-ycù {p) — z = ']^ {p),

^ + y^'ip) =f(p)-

Leur lieu géométrique sera donc une ligne droite, et l'on retrouve bien les équations (64).

4r4ii. On sait qu'on appelle surface réglée toute surface engendrée par le mouvement d'une droite dont les équations renferment un paramètre mobile. Ainsi les équations (44) définissent une surface réglée dont l'équation s'obtiendra par l'élimination du paramètre t entre les deux équations (44). L'équation (47) exprime la condition pour que cette surface réglée soit développable. Nous allons retrouver cette condition, ou, ce qui revient au même, la condition (49), par une autre considération.

Soient

X — aZ — a?Q = G,

Y — pZ — 2/o = o,

les équations de la droite dont les coefficients dépendent du paramètre t. Le plan tangent en un point x, //, z, de cette

droite sera de la forme

X — aZ — a^y 4- X {y — fL ~ y^) = o,

et, pour déterminer X, il suffit d'exprimer qu'il passe par le point :ï H- dx, y -\- dy, z -\- dz, pris sur la génératrice infiniment voisine de la première. On trouve ainsi, en désignant toujours les dérivées par des lettres accentuées,

X — aZ — .x\, cl'z -\- œl^

et l'on voit que cette équation sera indépendante de 2, c'està-dire que le plan tangent sera le même tout le long de la génératrice, si

c'est bien la condition (49).

Lorsque cette condition n'est pas remplie, la surface réglée n'est pas développable; elle est dite gauche. On a alors par hypothèse

Etudions dans ce cas le mouvement du plan tangent, lorsque le point de contact parcourt la génératrice. Supposons pour cela que, pour la valeur du paramètre / considérée, la génératrice coïncide avec Os

a = 0, fi = O, a?o = O, î/o = o ;

supposons, de plus, que le plan zoy coïncide avec le plan tangent à l'infini, dont l'équation générale serait

X — aZ — Xr, a'

Y - pZ - y, - [i' ' il faut que

L'équation du plan tangent est maintenant

et il suffit de porter sur oz l'origine au point qui a pour z

la valeur — ^? finie par hypothèse, pour obtenir la forme

définitive

J\. oc n

Pour s = 0, on a Y ^ 0. Supposons les axes rectangulaires : le plan zox., tangent à l'origine, est le plan perpendiculaire au plan tangent à l'infini; on l'appelle le plan central, et son point de contact est dit le j^oint central de la génératrice. Dans l'équation précédente, le premier membre représente la tangente de l'angle que fait le plan tangent avec le plan central ; elle est proportionnelle à :;, c'est-àdire à la distance du point central au point de contact.

Lorsque s varie do — oo à 4- oo, le 'plan tangent tourne autour de oz comme charnière, toujours dans le même sens.

443. On vérifie sans peine que la génératrice infiniment voisine de oz est dans un plan parallèle à yoz ; la perpendiculaire commune à ces deux génératrices se confond donc avec ox^ et l'on voit que le point central est la limite du pied de la perpendiculaire commune à la génératrice donnée et à la génératrice infiniment voisine. Le plan central est la limite du plan mené par la génératrice et par la perpendiculaire commune. Le lieu des points centraux s'appelle /z'^ne de striction de la surface; on peut observer que ce n'est pas, en général, une trajectoire orthogonale des génératrices.

Figurons la génératrice OG, la génératrice infiniment voisine O'G', et soit 00' leur perpendiculaire commune, OH la parallèle à O'G' menée par 0. Pour avoir le plan tangent en un point M de OG, on peut couper par un plan perpendiculaire à O'G' : il coupe O'G' en M', O'H en P. L'angle du plan tangent avec le plan central OOP est mesuré, aux infiniment petits du second

ordre près, par MM'P, et l'on a

^^\ PM sin i \

tano- MM'P = ^ = ^ X OM = f • OM, ° PM 00 n

en appelant i l'angle des deux génératrices. Le théorème précédent est donc de nouveau démontré, et l'on voit de plus que la plus courte distance des deux génératrices et leur angle sont des infiniment petits de même ordre. Leur rapport k s'appelle le paramiHre de distribution. Ce paramètre est constamment infini dans les cylindres, et constamment nul dans les autres surfaces développables.

Enveloppes de surïaees ù deux paramètres